Marco legal

Tema 2. Análisis de datos univariantes.
Tema 3. Análisis de datos bivariantes.
Tema 4. Correlación y regresión.
o
Tema 5. Series temporales Introducci´n
y números índice.

Descripción de variables y datos
socioeconómicos
1

al Tema 9

Tema 5. Probabilidad.
Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales.
Tema 7. Modelos probabilísticos discretos.
Tema 8. Modelos probabilísticoscontinuos.
Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales.

Tema
Tema
Tema
Tema

5
6
7
8

Tema 9

Modelización de la incertidumbre
en las variables socieconómicas

Introducci´n a la Probabilidad
o
Variables aleatorias unidimensionales:
• Definici´n y propiedades
o
• Ejemplos.
Variables aleatorias multidimensionales :
• Definici´n y propiedades
o
• Ejemplos.

⇑
Estudiarsituaciones m´s realistas
a
Introducci´n a la Estad´
o
ıstica

Andr´s M. Alonso
e

2

Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales
Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:
Variables aleatorias multidimensionales.
Distribuciones conjuntas, marginales y condicionales.
Independencia.
Media y matriz de varianzas y covarianzas.
Media condicionada.
Distribuci´nnormal multivariante.
o
Lecturas recomendadas: Cap´
ıtulo 6 del libro de Pe˜a (2005) y las secciones
n
3.7, 4.4 y 5.4 de Newbold (2001).
Introducci´n a la Estad´
o
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e

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Ejemplo 1. Se lanzan tres monedas distintas con probabilidades de cara de
0,5, 0,4 y 0,3 respectivamente. Sean X el n´mero de caras (c) en las primeras
u
dos monedas e Y el n´mero decruces (x) en las ultimas dos lanzadas.
u
´
Los posibles resultados del experimento, sus probabilidades y los valores de las
variables X e Y son los siguientes.
Resultado Prob. X Y
{c, c, c} 0,06 2 0
{c, c, x} 0,14 2 1
{c, x, c} 0,09 1 1
{c, x, x} 0,21 1 2
{x, c, c} 0,06 1 0
{x, c, x} 0,14 1 1
{x, x, c} 0,09 0 1
{x, x, x} 0,21 0 2
Hacemos una tabla de doble entrada mostrando ladistribuci´n conjunta de las
o
dos variables.
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4

Distribuci´n conjunta de X e Y
o
Definici´n 1. Para dos variables discretas X e Y , la distribuci´n conjunta
o
o
de X e Y es el conjunto de probabilidades Pr(X = x, Y = y) para todos los
posibles valores de x e y.
Ejemplo 1.
Y
0
1
2
0 0,00 0,09 0,21
1 0,06 0,23 0,21
2 0,06 0,140,00

X

Observamos que
Pr(X = x, Y = y) = 1.
x

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o
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y

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e

5

Distribuciones marginales de X e Y
Definici´n 2. Para dos variables discretas X e Y con distribuci´n conjunta
o
o
Pr(X = x, Y = y) para todos los posibles valores de x e y, la distribuci´n
o
marginal de X es
Pr(X = x) =
Pr(X = x, Y = y),
y

y la distribuci´nmarginal de Y es
o
Pr(Y = y) =

Pr(X = x, Y = y).
x

Ejemplo 1.

X

0
0 0,00
1 0,06
2 0,06
0,12

La distribuci´n marginal de X es
o

Y
1
0,09
0,23
0,14
0,46

2
0,21
0,21
0,00
0,42

0,3
0,5
0,2
1,0


 0,3


0,5
Pr(X = x) =
 0,2


0

si
si
si
si

x=0
x=1
x=2
no

Ejercicio: Distribuci´n marginal de Y .
o

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Distribuci´n condicionada
o
Definici´n 3. Para dos variables discretas X e Y con distribuci´n conjunta
o
o
Pr(X = x, Y = y) para todos los posibles valores de x e y, la distribuci´n
o
condicionada de X dado Y = y es
Pr(X = x, Y = y)
,
Pr(X = x|Y = y) =
Pr(Y = y)
y la distribuci´n condicionada de Y dado X = x es
o
Pr(X = x, Y = y)
Pr(Y = y|X = x) =,
Pr(X = x)
Ejemplo 1. La distribuci´n condicionada de Y
o

 0,3
0,7
P (Y = y|X = 2) =

0

dado X = 2 es
si y = 0
si y = 1
si no

Ejercicio: Distribuci´n condicionada de X dado Y = 0.
o

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Independencia
Definici´n 4. Se dicen que dos variables (discretas) X
o
independientes si

e Y

son

Pr(X = x,...