mas de una historia

Matemáticas


DERIVADAS PARCIALES ITERADAS.
TEOREMA DE TAYLOR.
EXTERMOS LOCALES: CRITERIO
DE LA PRIMERA DERIVADA



Ejercicios Resueltos

CONCEPTOS BÁSICOS

Así como en cálculo de unavariable se puede derivar reiteradamente una función, en cálculo de varias variables también se lo puede hacer, sólo que es posible combinar operaciones de derivada parcial primero respecto a una delas variables y luego respecto a otra; en estas circunstancias, el cálculo siempre se lleva a cabo teniendo en cuenta que al derivar respecto a una variable todas las demás se mantienen comoconstantes.
Si una función es dos veces continuamente diferenciable (esto es, de clase C2), entonces las derivadas mixtas o cruzadas son iguales:



Esta intercambiabilidad sigue valiendo para derivadasde orden n siempre que la función sea de clase Cn.

El teorema de Taylor para funciones de n variables establece que es posible encontrar aproximaciones de orden k para una función alrededor dedeterminado punto; esto sería una extensión del concepto de aproximaciones lineales que ya habíamos visto. Para ello se requiere que las funciones a aproximar sean de clase Ck+1. Para aproximaciones deorden 3, por ejemplo, tenemos:



Existen fórmulas para el residuo, es decir para la diferencia entre esta aproximación y el valor verdadero de f(x0 + h).

Una función de Rn en R puede tenermáximos y mínimos locales y también puntos silla, siendo estos últimos análogos a los puntos de inflexión en funciones de una variable. Es posible mostrar que si una función f asume un extremo local en x0,entonces f tiene un punto crítico en x0, o sea que f(x0) = 0.


PROBLEMAS

1) Calcular las derivadas parciales segundas y comprobar el teorema de igualdad de las derivadas parciales mixtas parafunciones C2.

f(x; y) = xarctan(x/y)

Solución



Con lo cual se comprobó que esta función, que es de clase C2, cumple con el teorema de las derivadas segundas mixtas. Se deja al lector...