MAT117_2015 0_P2_Solución 1

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA
DEL PERU
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Matem´aticas B´asicas
Segunda Pr´actica - Soluci´on
(2014-1)
1. Tenemos

F : 2x - y - 4 = 0

L(3,12)

F
E

V

A(-1,9)

a)Tenemos mLLF = − 12 pues mF = 2, entonces
LLF : x + 2y − 27 = 0.
Luego, el foco se obtienen de resolver
{
x + 2y − 27 = 0
⇒ F (7, 10) .
2x − y − 4 = 0
Tambi´en tenemos mLEA = − 12 , as´ı
LEA : x + 2y − 17= 0.
Por lo tanto, la ecuaci´on de la par´abola es
|x + 2y − 17|
√
=
5

√

(x − 7)2 + (y − 10)2

o simplificando
4x2 − 4xy + y 2 − 36x − 32y + 456 = 0.
b) El punto E se obtiene resolviendo
{
x + 2y −17 = 0
⇒ E (5, 6) ,
2x − y − 4 = 0
entonces
V = (6, 8) .
Sean
M1 : y = 2x + 1

y

1
49
M2 : y = − x +
2
4

las mediatrices de los segmentos LF y VF, respectivamente. El centro de la circunferenciaC
es la intersecci´on de M1 y M2 ,
{

y = 2x + 1
⇒C
y = − 12 x + 49
4

(

9
, 10
2

)

y el radio de C es r = d (C, V ) = 25 . Por tanto,
(
)
9 2
25
C : x−
+ (y − 10)2 = .
2
4
2. La intersecci´on deleje focal con las as´ıntotas de una hip´erbola es el centro C(xC , yC ) de ´esta,
entonces
{
yC = 2,
4xC − 3yC + 14 = 0.
Resolviendo se obtiene el centro C(−2, 2). Como el eje focal es paralelo al ejeX, las ecuaciones
de las as´ıntotas son de la forma
b
y − 2 = ± (x + 2).
a
y dado que conocemos la as´ıntota de pendiente positiva, tenemos
b
4
= .
a
3
Tambi´en, la intersecci´on

{

(1)

y = 2,
2x −y − 4 = 0,

nos da el foco F (3, 2), por lo que c = d(C, F ) = 5. Adem´as,
25 = a2 + b2 .

(2)

De (1) y (2) se obtienen a = 3 y b = 4, por lo que la ecuaci´on de la hip´erbola es
(x + 2) (y − 2)2
−
=1.
9
16
3. Sea el sistema de coordenadas U V obtenido rotando alrededor del origen al sistema de coordenadas
XY hasta que el eje de abscisas U coincida con la recta L : x − y = 0. Seg´
un los datos C(3, 3),
√
√
√
2
b
a = d (C, V1 ) = 2 2 y √2 = 2 implica b = 2, entonces en el sistema U V la ecuaci´on de la
elipse es
E:

(u − 3)2 (v − 3)2
+
= 1.
8
2
P´agina 2 de 4

De la figura, si en el...