Mate 4 Ejemplos De Modelado Con Ed

MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN

MAT4

1

EJERCICIOS DE MODELADO

1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez
proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si
la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y
cuadruplicará?
i)

Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o
general deéste.

ii)

Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un
listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado
de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar
también, las preguntas o interrogantes a resolver.
Datos:

Población inicial:

P0

Población para t = 0 es:

P(0 ) = P0

Población se duplico en cinco años:P(5) = 2 P0

iii)

(a) ¿en cuánto tiempo se triplicara?

P(t ) = 3P0

(b) ¿en cuánto tiempo se cuadruplicara?

Interrogantes:

P(t ) = 4 P0

Escoger el modelo matemático a utilizar o construir la ecuación
diferencial, basados en el enunciado del problema.
Debido a que el problema plantea aumento en la población el modelo
matemático a utilizar es el correspondiente a crecimiento ydecaimiento:

dP
= kP
dt
Donde k es la constante de proporcionalidad.

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iv)

2

Resolver la ecuación diferencial (Variables Separables, Exactas,
Lineales, Homogéneas o Bernoulli).
La E.D. es lineal, pero también se puede resolver por variables
separables. Entonces, resolviéndola por variables separables, setiene:
a)

Separando variables, tenemos:

dP
= kP
dt
dP = kPdt
dP
= kdt
P
b)

Integrando ambos miembros y luego reduciendo, se tiene:

dP
∫ dt = k ∫ dt
ln P = kt + C
e ln P = e kt +C
P = e kt e C
P = Ce kt
Puede observarse que en la solución general hay dos
parámetros (constantes), cuyo valor numérico hay que hallar
utilizando las condiciones iniciales (datos) del problema.v)

Hallar el valor numérico de la constante de integración y/o la constante
de proporcionalidad evaluando las condiciones iniciales (datos).
a)

Evaluando en: P(0 ) = P0

P0 = Ce k (0 )
P0 = Ce 0

P0 = C (1)
P0 = C

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b)

3

Evaluando en: P(5) = 2 P0

2 P0 = P0 e k (5 )
2 P0
= e 5k
P0
ln 2 = ln e 5k
ln 2 = 5 k
ln 2
=k
5
0 . 1386 = k
Tenemos que C = P0 ∧ k = 0.1386 ≈ 0.14
vi)

Escribir la Solución Particular.
Sustituir los valores encontrados de C y k en la solución general para
tener la solución particular con la que se responderán a las
interrogantes:

P (t ) = P0 e 0.14 t
Nota: Si bien en la solución particular se ha sustituido k por 0.14, al
momento de hacer operacionesutilizando su calculadora usar
todos los decimales.
vii)

Responder a las interrogantes del problema.
a)

¿en cuánto tiempo se triplicara?
Evaluar en: P(t ) = 3P0

3 P 0 = P 0 e 0 . 14 t
3 P0
= e 0 . 14 t
P0
ln 3 = ln e 0 . 14 t
ln 3 = 0 . 14 t
ln 3
=t
0 . 14
7 . 9248 = t
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4

Se triplicará en t = 7.92años
b)

¿en cuánto tiempo se cuadruplicara?
Evaluar en: P(t ) = 4 P0

4 P0 = P0 e 0 . 14 t
4 P0
= e 0 . 14 t
P0
ln 4 = ln e 0 . 14 t
ln 4 = 0 . 14 t
ln 4
=t
0 . 14
10 = t
Se cuadruplicará en t = 10 años

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5

2. Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la
temperatura delaire es 5º F. Después de un minuto, el termómetro indica 55º
F; cinco minutos después marca 30º F. ¿Cuál era la temperatura del interior?
i)

Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o
general de éste.

ii)

Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un
listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado
de éste...