Mate III Unidad I

Matemáticas III

Profesor Homero Espinoza Meneses

Unidad I. Solución de ecuaciones lineales
Definición. Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que
se puede expresar de la forma ax + by = c, donde x e y son las
incógnitas, y a, b y c son números conocidos.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de expresionesmatemáticas cuyo exponente mayor
es 1 y si el número de ellas es igual al número de variables que la integran, su solución es el cruce
entre ellas en una gráfica, para resolverlas existen: a) Métodos algebraicos: sustitución, igualación,
suma-resta y gráfico, b) Métodos aritméticos: determinantes (regla de Cramer), eliminaciones
sucesivas, Gauss-Jordan (matrices) y c) Métodos numéricos (Newton,bisección, secante).
Ejemplos:
2x +3y = 5
8x - 7y = 4

Se tienen dos ecuaciones, y dos incógnitas (x, y), el exponente mayor de
la x y de la y es 1 (el cual se omite).

2m +4n -2p = 9
- 4m + 7n +7p= -1
5m-3n-7p=8

Se tienen tres ecuaciones, y tres incógnitas (m, n, p), el exponente mayor
de la m, n y p es uno (el cual se omite)

3r+5s-t+4u=-2
2r-11t-9u=9
2t+7s-7u=4
9t-2s+6t=6

Se tienen cuatro ecuaciones,y cuatro incógnitas (r, s, t, u), el exponente
mayor de ellas es 1 (el cual se omite).

En general utilizaremos la siguiente nomenclatura:


Una igualdad consta de dos miembros:
Primer miembro = Segundo miembro
Ejemplo:



2x+3y

5

Cada miembro está compuesto de términos:
2x: Es el primer término del primer miembro de la ecuación
+3y: Es el segundo término del primer miembro de la ecuación
5:Es el primer término del segundo miembro de la ecuación

Ejemplo:



=

Cada término consta de las siguientes partes:
Exponente (si es 1, no se pone)
Signo

+2x
Coeficiente

Parte Literal

Matemáticas III

Profesor Homero Espinoza Meneses

1.1 Situaciones que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales
A continuación se presentan ejemplos sencillos en donde se modelan situaciones que dan lugar aecuaciones:

Ejemplo 1: El costo total de 5 libros de texto y 28 lapiceros es de $3149; el costo total de otros 6 libros
de texto iguales y 14 lapiceros es de $3230. Hallar el costo de cada artículo.
Solución: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según
el problema obtenemos las dos ecuaciones:
5 [Libros] * x [$/Libro] + 28 [Lapiceros] * y [$/Lapicero] = 3149[$]
6 [Libros] * x [$/Libro] + 14 [Lapiceros] y [$/Lapicero] = 3230 [$]

Ejemplo 2: Una madre y sus dos hijos tienen en conjunto 60 años. El hijo mayor tiene tres veces la
edad del menor, y la madre tiene el doble de la suma de las edades de los hijos.
Solución: Sea m= edad de la madre, h= edad del hijo mayor, i= edad del hijo menor. Según
el problema obtenemos las siguientes ecuaciones:
m [años]+ h [años]+ i [años] = 60 [años]
h [años] = 3i [años]
m [años] = 2(h+i) [años]
Ejemplo 3: En una clase hay 80 alumnos entre hombres y mujeres. En el último examen de
matemáticas han aprobado 60 alumnos, el 50% de los hombres y el 90 % de las mujeres.
¿Cuántos hombres y mujeres hay en la clase?
Solución: Sea h= el número de hombres, m= el número de mujeres. Según el problema
obtenemos lassiguientes ecuaciones:
h [personas] + m [personas] = 80 [personas]
0.5h [personas] + 0.9m [personas] = 60 [personas]

Matemáticas III

Profesor Homero Espinoza Meneses

1.2 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones lineales de las que se
busca una solución común.
Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitases un par de valores
que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución

2x+3y=14

Solución

3x+4y=19

X=1
Y=4

Comprobación

2(1)+3(4)=2+12=14
3(1)+4(4)=3+16=19

Se puede presentar tres casos al resolver un sistema de 2x2 ecuaciones lineales:
• Una única solución. La representación
gráfica del sistema son dos rectas que se
cortan en un punto. Se le conoce...