Mate3
Páginas: 10 (2433 palabras)
Publicado: 20 de octubre de 2013
CAPÍTULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS
9.1. Límites de integración infinitos
9.2. Integrales con integrando que tiende a infinito
9.3. Observaciones a las integrales impropias
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Capítulo 9
Integrales impropias
∞
t
∫ f ( x ) dx → ∫ f ( x ) dx ( t → ∞)
a
t
∫
a
∫
a
∫
f ( x) dx →
b
∫
∞
b
∫ f ( x )dx
−∞
∫
⌠ f(x) dx
⌡
f ( x ) dx ( t → b )
a
a
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Capítulo 9
Integrales impropias
Volver al Índice
Volver al Índice
Hasta ahora hemos realizado todo el estudio sobre las integrales definidas
bajo dos hipótesis fundamentales, el hecho de quelos límites de integración
eran finitos y la continuidad de la función a integrar, f(x), en el intervalo de
integración [a , b]. Cuando alguna de esas dos condiciones no se cumple, se dice
que la integral que resulta es impropia.
Estudiaremos estos casos por separado, viendo como conclusión el caso
general en el que pudieran no cumplirse estas dos hipótesis a la vez.
9.1. Límites deintegración infinitos
En este primer caso, supondremos que la función a integrar, f(x), está
definida y es continua en un intervalo no acotado. Esta situación puede darse de
tres maneras distintas: que el límite superior de integración sea infinito, que el
límite inferior de integración sea menos infinito, o que ninguno de los límites
de integración sea finito. Veamos cada una de estas tresposibilidades:
∞
1) Si f(x) es continua en [a , ∞) ⇒
t
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx
t →∞
a
a
t
donde
∫ f ( x ) dx es una integral definida.
a
a
a
2) Si f(x) es continua en (−∞ , a] ⇒
∫ f (x ) dx
−∞
= lim
t → −∞
∫ f ( x ) dx
t
a
donde
∫ f ( x ) dx es una integral definida.
t
3) Si f(x) es continua para todo x real y a es un número realcualquiera:
∞
a
∞
−∞
−∞
a
∫ f (x ) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ f ( x ) dx
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Integrales impropias
209
y cada una de las integrales impropias del miembro de la derecha, se
calcularán según lo viso en los caso 1) y 2).
Es decir, en cualquier caso, para calcular una integral impropia,primero
pasamos a calcular una integral definida dependiendo de un parámetro t que
haremos tender a más o menos infinito, según el caso. Así pues, el cálculo del
valor de una integral impropia se reduce al cálculo de manera consecutiva de
una integral definida y de un límite. Debido, precisamente, a la operación del
cálculo del límite de una función, este límite puede ser real (convergencia) opuede ser infinito (divergencia). Esta situación da lugar a la siguiente
clasificación en las integrales impropias: cuando los límites de 1) y 2) existan,
se dirá que las integrales convergen; si no existen (son infinito), se dirá que
divergen. En 3) la integral de la izquierda se dice que converge si y solo si
convergen las dos de la derecha (si una de ellas diverge independientemente dela otra, también será divergente la de la izquierda).
Ejemplos
+∞
Volver
caso 1)
1) I =
∫x
dx
+9
2
0
El límite superior de integración toma valor no finito. Así pues, según el caso
1), tenemos:
+∞
t
dx
dx
= lim ∫ 2
∫ x 2 + 9 t→ + ∞ 0 x + 9
0
Calculamos primero la integral definida con límite de integración superior
igual a t:
t
t
dx
19
1
1
t
=∫
∫ x2 + 9 0 ( x 3)2 + 1 dx = 3 [arctg ( x 3)] 0 = 3 arctg (t 3)
0
Por último, calculamos el límite cuando t tiende a más infinito de esta
función:
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
210
Volver
caso 2)
Introducción al cálculo integral
1
1π π
lim arctg (t 3) =
=
3 t→ + ∞
32 6
π
Por tanto, I es convergente y su...
9.1. Límites de integración infinitos
9.2. Integrales con integrando que tiende a infinito
9.3. Observaciones a las integrales impropias
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Capítulo 9
Integrales impropias
∞
t
∫ f ( x ) dx → ∫ f ( x ) dx ( t → ∞)
a
t
∫
a
∫
a
∫
f ( x) dx →
b
∫
∞
b
∫ f ( x )dx
−∞
∫
⌠ f(x) dx
⌡
f ( x ) dx ( t → b )
a
a
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Capítulo 9
Integrales impropias
Volver al Índice
Volver al Índice
Hasta ahora hemos realizado todo el estudio sobre las integrales definidas
bajo dos hipótesis fundamentales, el hecho de quelos límites de integración
eran finitos y la continuidad de la función a integrar, f(x), en el intervalo de
integración [a , b]. Cuando alguna de esas dos condiciones no se cumple, se dice
que la integral que resulta es impropia.
Estudiaremos estos casos por separado, viendo como conclusión el caso
general en el que pudieran no cumplirse estas dos hipótesis a la vez.
9.1. Límites deintegración infinitos
En este primer caso, supondremos que la función a integrar, f(x), está
definida y es continua en un intervalo no acotado. Esta situación puede darse de
tres maneras distintas: que el límite superior de integración sea infinito, que el
límite inferior de integración sea menos infinito, o que ninguno de los límites
de integración sea finito. Veamos cada una de estas tresposibilidades:
∞
1) Si f(x) es continua en [a , ∞) ⇒
t
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx
t →∞
a
a
t
donde
∫ f ( x ) dx es una integral definida.
a
a
a
2) Si f(x) es continua en (−∞ , a] ⇒
∫ f (x ) dx
−∞
= lim
t → −∞
∫ f ( x ) dx
t
a
donde
∫ f ( x ) dx es una integral definida.
t
3) Si f(x) es continua para todo x real y a es un número realcualquiera:
∞
a
∞
−∞
−∞
a
∫ f (x ) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ f ( x ) dx
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
Integrales impropias
209
y cada una de las integrales impropias del miembro de la derecha, se
calcularán según lo viso en los caso 1) y 2).
Es decir, en cualquier caso, para calcular una integral impropia,primero
pasamos a calcular una integral definida dependiendo de un parámetro t que
haremos tender a más o menos infinito, según el caso. Así pues, el cálculo del
valor de una integral impropia se reduce al cálculo de manera consecutiva de
una integral definida y de un límite. Debido, precisamente, a la operación del
cálculo del límite de una función, este límite puede ser real (convergencia) opuede ser infinito (divergencia). Esta situación da lugar a la siguiente
clasificación en las integrales impropias: cuando los límites de 1) y 2) existan,
se dirá que las integrales convergen; si no existen (son infinito), se dirá que
divergen. En 3) la integral de la izquierda se dice que converge si y solo si
convergen las dos de la derecha (si una de ellas diverge independientemente dela otra, también será divergente la de la izquierda).
Ejemplos
+∞
Volver
caso 1)
1) I =
∫x
dx
+9
2
0
El límite superior de integración toma valor no finito. Así pues, según el caso
1), tenemos:
+∞
t
dx
dx
= lim ∫ 2
∫ x 2 + 9 t→ + ∞ 0 x + 9
0
Calculamos primero la integral definida con límite de integración superior
igual a t:
t
t
dx
19
1
1
t
=∫
∫ x2 + 9 0 ( x 3)2 + 1 dx = 3 [arctg ( x 3)] 0 = 3 arctg (t 3)
0
Por último, calculamos el límite cuando t tiende a más infinito de esta
función:
Cálculo Integral para primeros cursos universitarios. Alejandre - Allueva, http://ocw.unizar.es
210
Volver
caso 2)
Introducción al cálculo integral
1
1π π
lim arctg (t 3) =
=
3 t→ + ∞
32 6
π
Por tanto, I es convergente y su...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.