Expo Mate3

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERECTORADO DE PUERTO ORDAZ
SECCIÓN T2
MATEMÁTICAS III

INTEGRACIÓN EN CAMPOS VECTORIALES

PROFESOR:

BACHILLERES:

MARIA PARODI

CASTRO ANDREINA

24855234

COVA OMAR

21248513

PUERTO ORDAZ, 06 DE MARZO DEL 2015

C.I

OLIVIER LUISAINY

20936918

PACHECO ANTHONY

21498022

CONTENIDO

 INTEGRALES DE LÍNEA
 CALCULO DE MASAY MOMENTO
 CAMPOS VECTORIALES, CAMPO GRADIENTE, TRABAJO, CIRCULACIÓN Y FLUJO (APLICACIONES)
 FLUJO A TRAVÉS DE UNA CURVA PLANA
 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA , FUNCIONES POTENCIALES Y CAMPO CONSERVATIVO
 TEOREMA DE GREEN (TEOREMAS DE DIVERGENCIA Y ROTACIONAL)

INTEGRALES DE LÍNEA
Sea C una curva regular a trozos en n-espacio definida intervalo [ a, b] y f una función definida sobre lagrafica de r(t) entonces,
se aplica la siguiente integral

Como evaluar una integral de línea
Ejercicio: Evaluación de una integral de línea
Para integrar una función continua f( x, y, z) sobre una curva C:
1. Se determina una parametrización suave de C, r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k
,a≤t≤b
2. se evalúa la integral como

∫

Evaluar
c (x²- y + 3z)ds donde C es el segmento
de recta mostrado en lafigura

Calculo de Masa y Momento
Para el calculo de masa y momento podemos considerar los resortes y los alambres como masa distribuidas a lo largo de
una curva suave.
La masa y el momento se calculan mediante las siguientes fórmulas:

Ejercicio:
 
Calcule la masa, centro de masa, momento de
inercia y radio de giro de un resorte a lo largo de la
hélice.
r(t)= (cos (4t))i + (sen (4t))j + t.k, 0 ≤ t ≤2

CAMPOS VECTORIALES, CAMPO GRADIENTE, TRABAJO, CIRCULACIÓN Y FLUJO (APLICACIONES )

CAMPOS VECTORIALES
Sea F = A ≤ R³

TRABAJO REALIZADO SOBRE UNA CURVA SUAVE

R³ se denomina campo vectorial en el espacio a

esta función f( x, y, z), se denota de la siguiente forma:

El trabajo realizado por una fuerza F=Mi + Nj + Pk, sobre una curva
suave r(t) desde t = a hasta t = b es

F( x, y, z)= M ( x,y, z)i + N ( x, y, z)j + P ( x, y, z)k
El campo F es continuo si las funciones componentes M, N y P son

Ejercicio. Calcular el trabajo realizado por una fuerza variable sobre una

continuas.

curva en el espacio.
Encuentre el trabajo realizado por:

z

CAMPO GRADIENTE

F = ( y – x² )i + ( z - y² )j + ( x – z² )k sobre la curva

El campo gradiente de una función diferenciables f( x, y, z) es elr(t) = ti + t²j + t³k, 0 ≤ t ≤ 1 hasta ( 1, 1, 1)

campo de vectores gradientes

( 1, 1, 1)
( 0, 0, 0)

y

▼f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k
Ejemplo. Determine el campo gradiente de f( x, y, z)= xyz.

x
r(t) = ti + t²j + t³k

CAMPOS VECTORIALES, CAMPO GRADIENTE, TRABAJO, CIRCULACIÓN Y FLUJO (APLICACIONES )

INTEGRALES
DE FLUJO, CIRCULACIÓN
 
si r(t) es una curva suave en el dominio de un campocontinuo de velocidad F, el flujo a lo largo de la curva desde t = a hasta t = b
es

Si la curva es un lazo cerrado entonces el flujo es la circulación a lo largo de la curva.

Ejemplo.

El campo de velocidades de un fluido es F = xi + zj + yk.

Encuentre el fluido a lo largo de la hélice

r(t) = (cos (t))i + (sen (t))j + tk, 0 ≤ t ≤

Ejemplo.

Calculo de la circulación alrededor de unacircunferencia.

Determinar la circulación del campo F = ( x – y )i + xj a lo largo de la circunferencia r(t) = (cos (t))i + (sen (t))j ,
0≤t≤

FLUJO A TRAVÉS DE UNA CURVA PLANA

Si C es una curva cerrada suave en el dominio de un campo vectorial continuo F = M( x, y )i + N( x, y )j, en el plano y n es el vector
unitario normal a C que apunta hacia afuera, el flujo de F a través de C es:

Flujo F através de C =

∫c F.n ds

Si F = M( x, y )i + N( x, y )j, entonces F.n = F = M( x, y )( dy / ds ) - N( x, y )( dx / ds )
∫c F.n ds = ∫c M( dy / ds ) - N( dx / ds )
Ejercicio. Determinar el flujo de F = ( x - y )i + xj a través de la circunferencia x² + y² = 1 en el plano xy

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA, FUNCIONES POTENCIALES Y CAMPOS CONSERVATIVOS

INDEPENDENCIA

DE

LA

TRAYECTORIA

Y

CAMPO...