Matemática financeira

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Introdução

à

Matemática Financeira

Ano Lectivo de 2006/2007

Luís Nunes Vicente
Departamento de Matemática da F.C.T.U.C.

A disciplina de Matemática Financeira integra a lista de opções das disciplinas da Licenciatura e Mestrado em Matemática do Departamento de Matemática da Faculdade de
Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra.
Estes apontamentos foram organizados emformato aula-a-aula, tipo lecture notes. Cada
aula está descrita de forma o mais auto-contida possível.

Evitaram-se, ao máximo, as

referências dentro de cada aula e entre aulas. No nal de cada lição, colocam-se exercícios
sobre a matéria dada, para resolução nas aulas ou em trabalho-para-casa.
Os vários tópicos do programa da disciplina foram organizados da seguinte forma:



Aulas13: introdução aos derivados nanceiros (forwards, futuros e opções).



Aulas 46:

modelação estocástica de um activo nanceiro; breve introdução ao

cálculo estocástico.



Aulas 710: modelação do preço de opções europeias (equação e fórmula de BlackScholes, paridade put-call, delta-hedging, neutralidade face ao risco, volatilidades
implícitas).



Aulas 13: métodobinomial.



Aulas 1112,1416:

modelação do preço de outras opções (opções sobre activos

que pagam dividendos, opções sobre futuros, opções americanas, opções exóticas e
opções dependentes da trajectória do activo).



Aulas 1718: atribuição de preços a obrigações e introdução aos modelos de taxas
de juro.



Aulas 1920: atribuição de preços a activos nanceiros (teoremafundamental) e
detecção de arbitragem.



Aulas 2126: introdução à selecção de carteiras.



Aulas 2729: outros tópicos (índice de fundos, valor em risco, ALM).

Os exemplos numéricos foram corridos em

Matlab

mEfiles estão disponíveis a partir
httpXGGwwwFm—tFu™FptG£lnvGmfGmf•HS•HTFhtml.

correspondentes

Coimbra, 23 de Maio de 2006, LNV.
(Data da última revisão: 03/06/2009.)(httpXGGwwwFm—thworksF™om). As
da página da disciplina, no endereço

Aula 1  Matemática Financeira

3

Aula 1: Introdução aos Derivados Financeiros (Contratos Forward)
Os derivados são instrumentos nanceiros, transaccionáveis, cujo preço ou valor depende
de outras variáveis básicas (bens ou activos nanceiros). São exemplos de bens ou activos
nanceiros, subjacentes a um derivado,as acções, os índices accionistas, as mercadorias,
as divisas e as obrigações. Os exemplos mais básicos de derivados são



os contratos forward,



os contratos de futuros e



os contratos de opções.

Contratos Forward
Um contrato forward é um acordo, entre duas partes, para comprar ou vender um determinado bem ou activo, numa determinada data futura e a um determinado preço(ambos
xados no momento do contrato).
Os contratos forward são transaccionados, geralmente, em mercados não organizados
ou informais. Os mercados forward são mercados a prazo, em que se celebram contratos
para uma entrega diferida.

Esta característica dos mercados forward, comum a outros

mercados de derivados, contrasta com a natureza dos mercados à vista, em que a contratação originade imediato a correspondente liquidação.
Num contrato forward, uma das partes assume uma posição longa e concorda em
comprar o activo numa data futura e a um dado preço. A contraparte toma uma posição

curta e compromete-se a vender o activo nas condições acordadas.
Os mercados forward são conhecidos, também, por mercados ao balcão (over-the-

counter), pelo facto do comprador e dovendedor negociarem entre si todos os parâmetros
do contrato.
Vejamos um exemplo relacionado com divisas, que é muito frequente neste tipo de
derivados. Consideremos uma empresa portuguesa que vai investir nos Estados Unidos
da América e que necessita de comprar um milhão de dólares daqui a seis meses. Esta
empresa pretende precaver-se, ou proteger-se, contra o risco de possíveis movimentações...
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