Matemática

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
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F´
ISICAS Y MATEMATICAS

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DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

SOLUCION PRUEBA 1 - ALGEBRA II - 525148
Problema 1. Considere el espacio vectorial R4 y los subconjuntos
A = {(1, 2, 0, 3), (0, 1, 2, 4)},

W = {(x, y, z, t) : y = z = 0, x + t = 0}.

1.1) Caracterice los elementos del subespacio U =< A >. Encuentre una base y ladimensi´n de U y de
o
W.
1.2) Defina el subespacio S = U + W , caracterice sus elementos y diga si es suma directa.

Soluci´n 1.1) El subespacio U es
o
U =< A >= {(x, y, z, t) : (x, y, z, t) = α(1, 2, 0, 3) + β (0, 1, 2, 4), α, β ∈ R}
de donde se obtiene el sistema α = x, 2α + β = y,


1
10x
2 1 y 0


 0 2 z ∼ 0
0
34t
En consecuencia,

2β = z,

3α + 4β = 0, conmatriz asociada


0
x

2
z
.
1
0 y − 2x − 2 z 
0 t − 3x − 2z

1
U = {(x, y, z, t) : y − 2x − z = 0, t − 3x − 2z = 0}
2

o
(x, y, z, t) = x(1, 2, 0, 3) + z (0, 1/2, 1, 2), x, z ∈ R.
(4 puntos)
El conjunto {(1, 2, 0, 3), (0, 1/2, 1, 2)} genera al subespacio y como sus vectores son l.i. es una base.
Finalmente, dim(U ) = card({(1, 2, 0, 3), (0, 1/2, 1, 2)}) = 2.
Por otro lado(x, y, z, t) ∈ W ⇐⇒ (x, y, z, t) = t(−1, 0, 0, 1), t ∈ R. luego,W =< {((−1, 0, 0, 1)} > y su
dimensi´n es 1.
o
(4 puntos)
Soluci´n 1.2) El subespacio S = U + W y un elemento de S es
o
1
(x, y, z, t) = (a, a + b, b, 3a + 2b) + (−p, 0, 0, p)
2
De donde se concluye el sistema a − p
asociada

1 0 −1
 2 1/2 0

0 1
0
32
1

= x, a + 1 b
2

x
1
y 0
∼
z 0
t
0

= y,b = z,

0 −1
10
14
00

3a + 2b + p = t que tiene la matriz

x

z
.

2y − 4x
t + x − 2y − z

En consecuencia, S = U + W = {(x, y, z, t) : t + x − 2y − z = 0} o
(x, y, z, t) ∈ S ⇐⇒ t = 2y − x + z ⇐⇒ (x, y, z, t) = (x, y, z, 2y − x + z ).
(4 puntos)
Adem´s, por el teorema de la dimensi´n, dim(U ) + dim(W ) = 2 + 1 = 3 = dim(S ). Luego, S es suma
a
o
directa de lossubespacios U y W .
(3 puntos)

Problema 2. Considere el espacio vectorial V = M2 (R), el subespacio U de V y los vectores B1 y B2
definidos por
U ={

a
c

b
d

: c = d = a + b};

1 −1
00

B1 =

,

B2 =

0
1

1
1

.

2.1) Demuestre que B = {B1 , B2 } es una base de U .
2.2) Ortonormalizar la base B con el p.i. < A, B >= tr(B t A).
a
c

b
d

a
d

2.3) Encuentrelas coordenadas del vector A =

d−a
d

en la base ortonormal, definida en (2.2),uti-

lizando el p.i. dado.

Soluci´n 2.1) En primer lugar
o
a
c

b
d

∈ U ⇐⇒ b = d − a, c = d ⇐⇒

1
0

=a

−1
0

+d

0
1

1
1

.

Luego, estos dos vectores generan el subespacio. Finalemente, probando que los vectores son l.i. se tiene
que constituyen una base de U .
(5 puntos)Soluci´n 2.2) Los vectores dados no son ortogonales pues su producto no es nulo. Por el Proceso de
o
ortogonalizaci´n de G-S, con x1 = B1 y x2 = B2 , se tiene que los vectores v1 y v2 son ortogonales si
o
v1 = x1 ,

v2 = x2 −

< x2 , v1 >
v1 .
||v1 ||2

Ahora, evaluando con: < x2 , v1 >= −1 y ||v1 ||2 = 2 se tiene que los vectores
1
0

v1 =

−1
0

,

1
2

1
2

1

v2 =1

.

Constituyen una base ortogonal para U .

√
Finalmente, dividiendo por su respectiva norma, ||v1 || = 2 y ||v2 || =
ortonormales
1
1
2
1
1 −1
′
′
2
2
, B2 = √
B1 = √
.
00
11
2
10
′
′
que constituyen una base ortonormal B ′ = {B1 , B2 } para U .

10
4

se obtiene los vectores

(5 puntos)

Soluci´n 2.3) . Como la base B ′ es ortonormal se tiene, porteorema, que
o
′
′
′
′
A =< A, B1 > B1 + < A, B2 > B2 .

Luego las coordenadas de la matriz A son
1
′
′
< A, B1 >= tr(B1t A) = √ (a − b);
2

2 a+b
′
′
< A, B2 >= tr(B2t A) = √ (
+ c + d).
10 2

Es decir,
[A]B ′ =

ab
cd



B′


=

1
√ (a
2
√2 ( a+b
2
10

− b)
+ c + d)




.
(5 puntos)

Problema 3. Considere la matriz C, el conjunto U y el...