Matemática

III Evaluación. Física 11. Sección 01.
1.- Una masa m1 = 20 [Kg] choca elásticamente con otra masa m2 que se encuentra en reposo. Luego del choque, m1 continúa moviéndose en la dirección original pero con una cuarta parte de su rapidez original. a) Calcula la segunda masa (3 puntos). b) Si la rapidez antes del choque de m1 era 20 [m/seg], determina la velocidad del centro de masa del sistema,antes y después del choque (2 puntos). Datos m1 = 20 [Kg] r ˆ v1i = 20 [m / s ] i r r v v1i = 1i 4 Solución

r r r m1v1 + m2 v2 + ........ + mn vn r vcm = mT De modo que con la ecuación anterior podemos calcular la velocidad del centro de masa antes y después de la colisión: • Antes r r r r m1v1i + m2 v2i m1v1i m1v1i r vcmi = = = 8 m1 + m2 m1 + m2 5 m1 r r 5 vcmi = 8 v1i = 12.5 [m / s ] • DespuésAplicando la ec 1.1 tenemos que: r r v1 f = 5 v1i 4 por lo tanto: r vcmf = r r m1v1 f + m2 v2 f m1 + m2 r v1i 3 5 r m1 + 5 m1 4 v1i 4 = 8 5 m1

a) Las ecuaciones para un choque elástico unidimensional son:
⎛ 2m 2 ⎞ ⎛ m − m2 ⎞ v1 f = ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ m + m ⎟v1i + ⎜ m + m ⎟v 2i ec 1.1 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎝ 1 ⎛ m2 − m1 ⎞ ⎛ 2m1 ⎞ v2 f = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ m + m ⎟v1i + ⎜ m + m ⎟v 2i ec 1.2 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎝ 1 Aplicando anuestro caso la ec 1.2 tenemos: ⎛ 2m1 ⎞ v1 f = ⎜ ⎟ ⎜ m + m ⎟v1i 2 ⎠ ⎝ 1
v1i ⎛ m1 − m2 ⎞ ⎟v1i =⎜ 4 ⎜ m1 + m2 ⎟ ⎝ ⎠ v1i (m1 + m2 ) = 8v1i m1 m1v1i + m2 v1i = 4(m1 − m2 )v1i

m1v1i + m2 v1i = 4m1v1i − 4m2 v1i

r m1v1i ( 1 + 3 ) r 4 4 vcmf = 8 5 m1 r r 5 vcmf = 8 v1i = 12.5 [m / s ]

m2 v1i + 4m2 v1i = 4m1v1i − m1v1i 5m2 v1i = 3m1v1i

3 3 m2 = 5 m1 = 5 20 [Kg ] = 12 [Kg ]

lo que demuestra quela velocidad del centro de masa antes y después de la colisión es la misma

b) En general la velocidad del centro de masa de un sistema discreto de partículas está dado por: r r r r mT vcm = m1v1 + m2 v2 + ........ + mn vn por lo tanto:

2.- La figura muestra un bloque de madera de 1 [Kg] unido a un resorte cuya constante de fuerza es 200 [N/m]. Se dispara contra el bloque un proyectil de 20[g] y como consecuencia de esta colisión perfectamente inelástica (el proyectil se incrusta en el bloque) el resorte se comprime 45 [cm]. Determina la velocidad del proyectil antes del choque: a) Suponiendo que la superficie es lisa (2 puntos). b) Suponiendo que el coeficiente de roce entre la superficie y el bloque es µc = 0.3 (3 puntos).
Datos m1 = 20 [g]=0.02 [Kg] m2 = 1 [Kg] k = 200 [N/m] xm= 45 [cm]=0.45[m] Solución a) Choque perfectamente inelástico. Por

r 1.02 [Kg ] 200 [N/m] v1i = 0.45 [m ] 0.02 [Kg ] 1.02 [Kg ] r ⎡m⎤ v1i = 321.36 ⎢ ⎥ ˆ i ⎣s⎦ b) Se resuelve igual al anterior. Lo único que r debemos nuevamente determinar v f por
conservación de la energía ya que en este caso hay roce.

r r pi = p f r r r m1v1i + m2 v 2i = (m1 + m2 )v f r tomando en cuenta v 2i = 0 ; nosinteresa r determinar v f . r (m1 + m2 )v f r v1i = ec 2.1 m1 r Podemos determinar v f por conservación de la
energía mecánica: ∆Em = 0 Emf = (½)kx2 Emi = (½)(m1+m2)vi2 ec 2.2 r r donde vi de la ec 2.2 equivale a v f de la ec 2.1. (½)kx2 = (½)(m1+m2)vi2 despejando vi tenemos:

conservación de la cantidad de movimiento lineal tenemos que:

∆Em = wFr Emf = (½)kx2 Emi = (½)(m1+m2)vi2 (½)kx2 -(½)(m1+m2)vi2 = wFr (½)kx2 - (½)(m1+m2)vi2 = -µ(m1+m2)gx r r de nuevo, vi de la ec.2 equivale a v f de la ec.1. vi = kx 2 + 2 µgx m1 + m2 ec 2.4

vi =

k x m1 + m2

vi = 6.51 [m/s] Substituyendo la ec 2.4 en la ec 2.3, obtenemos: m + m2 kx 2 + 2 µgx ec 2.5 vi = 1 m1 m1 + m2
⎡m⎤ 1.02 [Kg ] 6.51⎢ ⎥ r ⎣s⎦ˆ i v1i = 0.02 [Kg ]1 r ⎡m⎤ v1i = 331.92 ⎢ ⎥ ˆ i ⎣s⎦

ec 2.3

vi = 6.30 [m/s]
Substituyendola ec 2.1 en la ec 2.3, obtenemos:

m + m2 r v1i = 1 m1

k x m1 + m2

3.- En el punto A situado a una altura h respecto al suelo, la masa m1 = 10 [Kg] se está moviendo con una velocidad de 10 [m/s]. La vía es lisa excepto en el tramo BC (BC = 17 [m]; µc = 0.3). En el punto D, m1 choca elásticamente con m2 = 30 [Kg]. Posteriormente m2 comprime 50 [cm] al resorte de constante de fuerza K...