matemática


















































Ecuaciones diferenciales ordinarias

ÍNDICE

1. Introducción y conceptos básicos
2. Ecuaciones diferenciales ordinarias
2.1. Ecuaciones con variablesseparables
2.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas
2.3. Ecuaciones diferenciales lineales
2.4. Ecuaciones diferenciales exactas
2.5. Ecuaciones diferenciales lineales
2.6. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
2.7. Ecuaciones diferenciales de Riccati
3. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias
4. Referencias Bibliográficas



1. Introducción y conceptos básicos

Unaecuación se llama diferencial porque contiene una o más derivadas ó diferenciales. Existen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
En este trabajo se estudiarán las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), que son aquellas que contienen una o más derivadas de una función de una sola variable independiente.
Las ecuaciones diferenciales también se pueden clasificar por el orden y elgrado. El orden de una ecuación diferencial es el de la mayor derivada involucrada en la expresión y el grado el de la potencia de la derivada de mayor orden.
Este estudio se centrará en las ecuaciones diferenciales ordinarias de Primer Orden y Primer Grado, es decir ecuaciones que contienen funciones que se han derivado una sola vez, con respecto a una variable independiente y dicha derivadaestá elevada a la potencia uno.

Ejemplos:


En las funciones de ambos ejercicios se derivó la variable " y " con respecto a la variable " x " una sola vez y esa derivada está elevada a la potencia unidad.
Si en el ejercicio "b " se despeja , la ecuación queda como sigue:

En general suele expresarse una ecuacióndiferencial ordinaria de primer orden y primer grado de la siguiente manera:


La primera ecuación está dada en forma explícita, es decir se expresa claramente que la función " y " fue derivada con respecto a la variable independiente " x ", y la solución debe expresarse de la misma forma.
La segunda ecuación está dada en forma implícita, es decir no señala cual es la variableindependiente, por lo tanto dicha variable puede elegirse a conveniencia y la solución debe darse también en forma implícita.

Existen diferentes métodos para resolver este tipo de ecuaciones, en este trabajo se presentarán los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales: Separables, Homogéneas, Con Coeficientes Lineales, exactas, Lineales, de Bernoulli y de Riccati.

2. Ecuacionesdiferenciales ordinarias
Definición. Las ecuaciones diferenciales de primer orden, son aquellas en las que aparecen relacionadas la variable independiente de x, la dependiente o función incógnita y(x) y su primera derivada y’(x)
Una ecuación de este tipo puede expresarse de diversas formas:
-Forma normal: y’(x)=f [ x, y(x) ]
-Forma implícita: F[ x, y(x), y’(x) ] = 0
-Formadiferencial: M ( x, y ) dx+ N (x,y) dy =0

Ejemplo. Sea la ecuación:

Observamos que viene dada en forma normal, donde:

Para obtener la forma implícita sólo hay que pasar todos los elementos a un mismo miembro:

Y la forma diferencial asociada a esta ecuación es:


2.1. Ecuaciones diferenciales de variables separables:
Si la ecuación está expresada de la siguienteforma:

f(x.y )es una constante o una función sólo de " x ", entonces dicha ecuación sería equivalente a , puede resolverse integrando directamente ambos lados de la ecuación, usando los métodos ordinarios de integración.
Si en la ecuación , se puede escribir r "M " como una función solo de " x " y "N " como una función solo de " y ", se obtendría de manera equivalente , la cual se llama...