Matemáticas Actuariales

Función de Distribución del Número de Reclamaciones

Seguros de Daños

Por:

Pedro Aguilar B.

Una de las aplicaciones más comunes de la distribución Poisson es la predicción del número de eventos en un determinado período de tiempo. En las operaciones de seguros es común encontrarse con la necesidad de estimar el número de reclamaciones que puede haber en un año. Se puede tratar delnúmero de reclamaciones por accidentes de autos, el número de incendios, el número de reclamaciones de responsabilidad civil, etc. Es por ello que se considera relevante, mostrar en forma detallada el siguiente procedimiento en el cual se presenta el ajuste de una función de probabilidad Poisson, a una estadística de reclamaciones.
En principio se cuenta con una estadística de 2000 observaciones,en las cuales se registró el número de automóviles siniestrados en carteras de 1000 expuestos cada una. Con la información de la muestra se ajusto a una distribución Poisson mediante el método de momentos en cuyo caso el parámetro estimado (λ), corresponde a la media de los datos observados, es decir, la suma de los siniestros (NS), entre el número de datos que constituyen la muestra(N) .λ=1Ni=12000NSi
A continuación se presenta el gráfico en el cual se observa el histograma de los datos observados vs la curva de la función de distribución Poisson que fue ajustada. Para determinar que el ajuste de la función propuesta fue el adecuado, es necesario realizar un prueba que permita conocer el grado de error entre la función ajustada y la función empírica de los datos reales.

Paracorroborar el ajuste se aplicará la prueba de Bondad de Ajuste conocida como la χ2 (Chi Cuadrada). La prueba χ² mide la discrepancia entre una distribución observada (empírica) y otra teórica.
Respecto al número de categorías (partición en rangos) (k) que se utiliza, no hay una regla fija, aunque lo razonable es que el número de categorías aumente al ir aumentando el número de datos que constituyen lamuestra. En el ejemplo se tomo un k=20.
El estadístico de prueba es: X2=i=1k(Obsi-Esti )2Esti~χk-12 con k-1grados de libertad.
Donde los grados de libertad están asociados al número de categorías que se realizaron es decir, k=20.
En este caso tenemos que la Hipótesis Nula es:
H0: Los datos observados se ajustan a una distribución Poisson
La Hipótesis Alternativa:
Hα: Los datos observadosno se ajustan a una distribución Poisson
Regla de decisión: Si X2> χ2t(1-α,k-1) se rechaza H0 ,donde α es el nivel de significancia.
En la regla de decisión se comparan el estadístico de prueba X2 y el valor del cuantil al 1-α (nivel de confianza), de la Chi Cuadrada con k-1 grados de libertad, este cuantil se obtuvo de la tabla de la Chi Cuadrada.
El siguiente gráfico muestra la regiónde rechazo y la de aceptación para la hipótesis nula.

=0.05

Región de Rechazo
Región de Aceptación
Χ2(0.95,19)=30.15
Χ2=13.81

En el ejemplo tenemos que: X2=13.81 y χ2t(0.95,19),=30.15 por lo tanto se acepta H0, y se concluye que con un nivel de significancia α=0.05 los datos observados se ajustan a una distribución Poisson.


ANEXO 1
4.1Métodos de ajuste o estimaciónparamétrica
El presente método se basa en el supuesto de que, el/los momento/s de una muestra, deben ser equivalentes a el/los momento/s de la función de distribución de probabilidad de la población de la cual proviene dicha muestra. Históricamente éste método fue uno de los primeros propuestos.
La idea de este método es muy sencilla e intuitiva; como primer paso, mediante despejes, se expresan losparámetros de una función de distribución a partir de los momentos de la misma.
Como segundo y último paso, se sustituyen los momentos de la función de distribución por los momentos obtenidos a partir de la muestra, es decir, los momentos muestrales.
Se define al k-ésimo momento de una variable aleatoria discreta X (), cuya función de densidad de probabilidad esta dada por , mediante la...