matemáticas lV


Intervalos de variación
Considérese el eje numérico de las abscisas, con " x" como magnitud variable, y a dos valores de "x", a y b, tales que a < b.
Se llama intervalo abierto al conjunto de todos los números reales mayores que "a" y menores que "b". Este intervalo se denota con (a,b) y se expresa como:

Estos valores se ubicarían en la recta numérica como se observa en la figura

Sellama intervalo cerrado, denotado con [a,b], al formado por los valores reales del intervalo abierto, junto con los valores a y b. Se expresa como:

Y en la recta numérica se representa como:

Se conoce como intervalo semiabierto por la izquierda y se denota con (a,b], al expresado y representado como:


Se conoce como intervalo semiabierto por la derecha y se denota con [a,b), al expresadoy representado como:


(Notación: representa a los números reales, el símbolo significa “pertenece” y los dos puntos “:” es una abreviación a las palabras “talque” o nos da a entender que deben de cumplir la condición que se indica a continuación, las llaves “{ …}” representan a un conjunto que es una colección de elementos)


FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Concepto tradicional. Cuando dosvariables están relacionadas en tal forma que a cada valor de la primera corresponde un valor y sólo uno de la segunda, se dice que la segunda es función de la primera.

Notación. Si en una expresión funcional "x" es la variable independiente y "y" es la variable dependiente, se acostumbra escribir y = f (x) para representar a la función en estudio y se lee:
"y es igual a f de x"
y = g(x); y= F(x); y =φ (x); …

Ejemplo:
Sea: … (1)
Obtener:

Evaluamos el valor de la variable en la función, es decir, sustituimos el valor de “x” en la ecuación (1) y simplificamos la expresión:









Ejemplo:
Sea
Verificar que:
Solución:
Es posible escribir que:
de donde:

Enfoque con la teoría de conjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Si se colectan todaslas parejas ordenadas en donde el primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B, entonces esta colección de parejas ordenadas forma un conjunto que se denota por:

que se llama conjunto producto o producto cartesiano de A y B.
Al producto cartesiano de un conjunto por sí mismo se le denota como:
Ejemplo:
Dados los conjuntos:

Calcular:

Solución:
Se colectan de maneraordenada las parejas como se ha expresado y se llega a:




Nota. Como se observa en y , el producto cartesiano no es conmutativo, es decir, que .
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función es una terna formada por:
a) Un primer conjunto llamado Dominio de la función.
b) Un segundo conjunto llamado Codominio de la función.
c) Una regla de correspondencia que tiene las siguientes propiedades:
-A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del codominio.
- Ningún elemento del dominio ha de quedarse sin su asociado en el codominio.
- Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio.

Una función puede escribirse de la siguiente forma:

en donde f(x) es la imagen de x en el codominio, obtenida a partir de la regla de correspondencia .Ejemplo:
Dada la siguiente relación, decir si es función, justificar la respuesta y, en caso de no serlo, analizar la factibilidad de que fuera función.

La relación no es una función ya que podemos considerar a las siguientes parejas ordenadas y , es claro que pertenecen a la relación R pero no cumplen con la tercera propiedad para que sea función, al elemento del codominio “0” le correspondendos elementos el “1” y “-1”

De este ejemplo se puede deducir que la condición geométrica para que una relación sea función, es que toda recta paralela al eje "y " debe cortar a su gráfica en un solo punto.
Existen diferentes tipos de funciones, de acuerdo a los elementos de sus dominios y codominios. En este tema se hablará, como ya se ha dicho, de funciones reales de variable real, es...