Matemáticas

M´ximo com´n divisor (MCD) y m´
a
u
ınimo com´n
u
m´ltiplo (mcm)
u
18 de febrero de 2012

1.

Introducci´n
o

Es necesario conocer ciertos conceptos relacionados con divisibilidad yn´meros primos,
u
para poder hablar de MCD y mcm.
Definici´n 1.1 (N´ mero divisor) Decimos que un n´mero b ∈ N es divisible por un
o
u
u
entero a = 0, si existe un n´mero c ∈ N tal que
u
b=a·c
Sesuele expresar de la forma a|b, que se lee: “a divide a b”, o “a es un divisor de b”, o
tambi´n “b es m´ltiplo de a”.
e
u
Definici´n 1.2 (N´ mero primo) Un n´mero a > 1, con a ∈ N, se llama primosi
o
u
u
tiene unicamente dos divisores distintos: a y 1.
´
Un tipo distinto de n´meros son los llamados n´meros compuestos, que son aquellos
u
u
que tienen alg´n divisor natural a parte des´ mismos y 1. El n´mero 1 por convenci´n no
u
ı
u
o
se considera ni primo, ni compuesto.

2.

M´ximo com´ n divisor (MCD)
a
u

Definici´n 2.1 (MCD) El MCD de n n´meros naturales es el mayorde los divisores
o
u
que es com´n a dos o m´s de los n n´meros naturales.
u
a
u
Ejemplo 1: Obtener el MCD de 36, 30 y 18.
Soluci´n: Los n´meros se descomponen en factores primos, hasta que notengan un
o
u
divisor primo com´n:
u
18 2
9 3
3

36 30
18 15
6 5

El m´ximo com´n divisor (MCD) se obtiene al multiplicar los n´meros primos de la
a
u
u
derecha:
M CD(36, 30, 18) =2 × 3 = 6
1

2

3.

M´
ınimo com´ n m´ ltiplo (mcm)
u
u

Definici´n 3.1 (mcm) El mcm de n n´meros naturales es el menor de los m´ltiplos que
o
u
u
es com´n a dos o m´s de los n n´merosnaturales.
u
a
u
Ejemplo 2: Obtener el mcm de 36, 12 y 15.
Soluci´n: Los n´meros se descomponen simult´neamente en sus factores primos hasta
o
u
a
que el cociente de cada uno de ellos es launidad:
36
18
9
3
1
1

12 15
6 15
3 15
1 5
1 5
1 1

2
2
3
3
5

El m´
ınimo com´n m´ltiplo se obtiene al multiplicar los n´meros primos de la derecha:
u
u
u
mcm(36, 12,...