matemáticas

Diseminación de una enfermedad Cuando se analiza la diseminación de una enfermedad
contagiosa -la gripe, por ejemplo-, es razonable suponer que la tasa o razón con que
se difunde no sólo esproporcional a la cantidad de personas, x(r), que la han contraído en el
momento t, sino también a la cantidad de sujetos, y(t), que no han sido expuestos todavía al
contagio. Si la tasa es dxldt,entonces
donde R es la acostumbrada constante de proporcionalidad. Si, por ejemplo, se introduce una
persona infectada en una población constante de n personas, entonces x y y se relacionan
mediante x + y= n + 1. Usamos esta ecuación para eliminar y en la ecuación (8) y obtenemos
el modelo
$=kx(n+ 1 -x) (9)
Una condición inicial obvia que acompaña a la ecuación (9) es x(O) = 1.

Vaciado de untanque En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad
v de eflujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque
lleno con agua hasta unaaltura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es, v = 112gh, donde g es la
aceleración de la gravedad. Estaúltima expresión se origina al igualar la energía cinética, $TI$,
con la energía potencial, mgh, despejando v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja
vaciar por un agujero, por la acción de lagravedad. Queremos determinar la profundidad, h,
del agua que queda en el tanque (Fig. 1. ll) en el momento t.



FIGURA 1.11
Si el área transversal del agujero es Ao, en pies cuadrados, y lavelocidad del agua que sale
del tanque es v = &@, en pies por segundo, el volumen de agua que sale del tanque, por
segundo, es Ao 16& en pies cúbicos por segundo. Así, si V(r) representa al volumen delagua
en el tanque en cualquier momento t,
d-V=
df -A, k!@i, (13)
donde el signo menos indica que Y está disminuyendo. Obsérvese que no tenemos en cuenta
la posibilidad de fi-icción en el...