Matemáticas

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Universidad de Costa Rica Sede de Occidente
Escuela de Matemática

Curso MA-0911 Historia de la Matemática

Breve Reseña histórica: Teoría de Grupos y Anillos

Estudiante: Jorge Salazar Chaves A55128

I Ciclo 2010. Fecha: 09-07-10 Profesor: Msc. Sergio Araya.

MA-0911

Jorge Salazar Chaves A55128

Preliminares del desarrollo del Álgebra Abstracta (Grupos y Anillos)
Entre lamatemática del siglo dieciocho y la del siglo diecinueve se destaca la figura majestuosa de Carl Friederich Gauss. Él nació en la ciudad alemana de Brunswick y era hijo de un artesano. El duque de Brunswick reconoció en el joven Gauss un prodigio infantil y se hizo cargo de su educación. El joven genio estudió de 1795 a 1798 en Göttingen y en 1799 obtuvo su doctorado en Helmsädt. Su disertación doctoraldio la primera demostración rigurosa del Teorema

Fundamental del Álgebra, el cual afirma que cualquier ecuación algebraica de grado positivo tiene al menos una solución compleja, en otras palabras, siempre existe un número complejo que satisface dicha ecuación. D’Alembert había tratado de dar una demostración en 1746. Gauss amaba este teorema y posteriormente dio dos demostraciones más,retornando en la cuarta (1849) a su primera demostración. La tercera prueba (1816) usó integrales complejas y mostró la gran maestría de Gauss en la teoría de los números complejos. La demostración de 1799 de Gauss es de naturaleza geométrica y se basa en la idea de representar gráficamente los números complejos. Lo que hace Gauss es sustituir la incógnita del polinomio por funciones de a y b. Paraempezar, toma la ecuación . Al sustituir se obtiene: y a partir de ello obtener dos

simplificando y separando partes reales de imaginarias, se obtienen las dos ecuaciones (parte real) y (parte imaginaria). La primera , bisectrices de los cuatro

consiste en el par de rectas

cuadrantes. La segunda es una hipérbola equilátera en el primer y tercer cuadrante. Las coordenadas de las interseccionesde ambas curvas son las partes real e imaginaria del número complejo que es solución de la ecuación inicial.

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Ninguna de las demostraciones conocidas del Teorema Fundamental del Álgebra es constructiva, es decir, las pruebas no exhiben una fórmula o un método finito para hallar la solución de la ecuación, se limitan a dar argumentos que garantizan laexistencia de la raíz. En clases anteriores del curso de historia se ha trabajado con fórmulas para resolver las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Un joven genio apareció en la década de los veinte del siglo XVII, Niels Henrik Abel, el hijo de un clérigo noruego. Como estudiante en Cristiania (Oslo,

Noruega), él pensó que había resuelto la ecuación de grado cinco, pero seauto-corrigió en un folleto publicado en 1824. Este fue el famoso artículo en el cual Abel demostró la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado por medio de radicales, problema que había confundido a los matemáticos desde el tiempo de Bombelli y Viete (una demostración en 1798 del italiano Paolo Ruffini fue considerada por Poisson y otros matemáticos como demasiado vaga). Según Babini(1969):“durante el siglo XIX el primer progreso importante relacionado con la teoría de las ecuaciones algebraicas consistió en la demostración de la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado mediante radicales.” Además afirma que la primera demostración, en forma restringida de esa imposibilidad se debe a Paolo Ruffini (1765-1822) que la hizo conocer en su

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tratado sobre las ecuaciones de 1798. La primera demostración rigurosa de esto se debe precisamente a Abel en 1826. Abel logró un sueldo que le permitió viajar a Berlín, Italia y Francia. Pero torturado por la pobreza la mayor parte de su vida e imposibilitado para obtener una posición digna de su talento, Abel estableció pocos contactos personales y murió (1829) poco después del...
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