Matemáticas

MAT1

ADE+DADE+TADE+ECO

Universitat d’Alacant

2014-15

BLOQUE II: DERIVACIÓN
1. Definición de derivada
2. Interpretación de la derivada
3. Reglas de derivación
4. Relación entre derivabilidad y continuidad
5. Diferenciales: aproximación lineal
6. Derivación implícita
7. Derivadas de orden superior: aproximación cuadrática
8. Máximos y mínimos
9. Concavidad y convexidad
10.Representación gráfica de la función y = f(x)

1. Definición de derivada
1.1. Definición e idea intuitiva: límite de la pendiente de la recta secante (recta que une los
puntos de la gráfica de la función (x,f(x)) con (x  x,f(x  x)) )

f(x  x)  f(x)

incremento de la función

(x  x)  x

incremento de la variable

f(x  x)  f(x) f(x  x)  f(x)

(x  x)  x
x

limx  0

f(x  x)  f(x)
x

cociente incremental (pendiente de la recta secante)

límite

Al límite del cociente incremental, si existe, se le llama derivada de la función f(x) en el punto x, y se
representa por:
df(x) dy 

,
f'(x) o, escribiendo y  f  x  , se denota y'(x); también se denota por
dx dx 

1.2. Imagen gráfica de cada concepto:
cociente incremental = tangentedel ángulo  = pendiente recta secante
límite = pendiente de la curva = pendiente de la recta tangente

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1.3. Pasos para obtener la derivada por la definición
NOTACIÓN: En vez de usar el símbolo x , utilizaremos la letra h
lim
h0

f(x h)  f(x)
h

1) Calcular el incremento de la función:

f(x  h)  f(x)

2) Calcular el cociente incremental:

f(x  h)  f(x)
h

3) Calcular el límite de este cociente:

lim

f(x  h)  f(x)
h0
h

1.4. Ejemplos:
a) f(x) = C (constante)

cálculo de la derivada para x cualquiera

f(x  h)  f(x)  C  C  0
f(x  h)  f(x) 0
 0
2) cociente incremental
h
h
f(x  h) f(x)
lim
 lim0  0
3) límite
h0
h0
h
La derivada de una constante vale cero.
1) incremento función

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b) f(x) = 2x – 1

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cálculo de la derivada para x cualquiera

f(x  h)  f(x)  2(x  h)  1  2x  1  2h
f(x  h)  f(x) 2h2) cociente incremental
 2
h
h
f(x  h)  f(x)
3) límite
lim
 lim2  2
h0
h0
h
La derivada de la función f(x)  2x  1 vale siempre dos, f'(x)  2 .

1) incremento función

c) f(x) = x 2

cálculo de la derivada para x = 2, y para x cualquiera

para x = 2
1) incremento función
2) cociente incremental
3) límite
para x cualquiera
1) incremento función

f(2  h) f(2)  2  h  2  4  4h  h2  4  4h  h2
2

2

f(x  h)  f(x) 4h  h2

 4 h
h
h
f(x  h)  f(x)
lim
 lim 4  h  4
h0
h0
h
f(x  h)  f(x)   x  h  x2  x2  2hx  h2  x2  2hx  h2
2

f(x  h)  f(x) 2xh  h2

 2x  h
2) cociente incremental
h
h
f(x  h)  f(x)
3) límite
lim
 lim2x  h  2x
h0
h0
h
2
La derivada de la función f(x)  xvale siempre f'(x)  2x .
Ejercicio: calcula la pendiente de la parábola y  x2 en el punto x  1 . Calcula la ecuación de la
recta tangente a la parábola en dicho punto.
SOLUCIÓN:
a) la pendiente viene definida por la derivada en el punto que nos dan:
f(x)  x2
f'(x)  2x
f'(1)  2
m  2
b) el punto por el que pasa es:
x  1
y  f(1)  (1)2  1
punto: (1,1)
c) recta conpendiente conocida que pasa por un punto
y  1  (2)(x  (1))  2x  2
y  2x  1
Ecuación general de la recta tangente en un punto (x 0 ,f(x 0 )) de la gráfica de una función f(x)

y  f(x 0 )  f'(x 0 )(x  x 0 )

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