Matemático

UNIDAD 1

PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE



CINÉTICA DE LA RADIACTIVIDAD: Ley de desintegración radiactiva
La desintegración de un núcleo radiactivo es un proceso espontáneo y es imposible predecir cuando un átomo se transmutará. Ahora bien, cuando hay una gran cantidad de átomos radiactivos, se puede demostrar que la cantidad de núcleos iniciales disminuye con el tiempo. Elnúmero de átomos que se desintegran en un tiempo dado es directamente proporcional al número de átomos presentes en la muestra. La constante de proporcionalidad es conocida como la constante de desintegración.



El decaimiento radiactivo es un fenómeno que puede ser modelado por funciones y analizado por medio del cálculo



PROPÓSITOS DE LA UNIDAD: Explorar diversos problemas queinvolucren procesos infinitos a través de la manipulación tabular, gráfica y simbólica para propiciar un acercamiento al concepto de límite.
1.1. NOCIÓN DE PROCESO INFINITO
En la presente unidad plantearemos algunos problemas característicos del cálculo, particularmente aquellos que dan lugar a procesos infinitos, e intentaremos discutirlos antes de desarrollar las ideas y nociones básicas. Seguramenteel alumno tendrá algunos problemas en modelación matemática, al seguir los ejemplos que presentamos. No obstante, consideramos que esto va en beneficio del lector, ya que con ello le mostramos hacia donde queremos llegar y el porqué de la secuencia seguida en esta unidad.

1.2. SITUACIONES QUE DAN LUGAR A PROCESOS INFINITOS
I. Planteamiento del problema
Problema 1
Consideremos la siguientesituación problemática del Profesor Francisco:
Se compró un automóvil y la primera vez que llena el tanque de gasolina le pone un litro de aditivo. La segunda vez que acude a la gasolinera, el tanque de combustible está a la mitad, le pone otro litro de aditivo y llena el tanque de gasolina, nuevamente. La tercera vez que acude a la gasolinera hace lo mismo, al estar el tanque a la mitad le poneotro litro de aditivo y llena el tanque. Y así sucesivamente.
PREGUNTAS:
 ¿A la larga, cuánto aditivo va a contener el tanque de gasolina de su automóvil?
 ¿Cómo cambia (la variable) el aditivo en cada paso?
 ¿Cuál es el estado próximo del aditivo?
 ¿Quién es más grande?
 ¿Cómo cambian los cambios?
II. Comportamiento de un proceso infinito. Representación tabular y Gráfica.
Pararesponder la primera pregunta
 ¿A la larga, cuánto aditivo va a contener el tanque de gasolina de su automóvil? Estabilización
Es necesario proceder a analizar y contestar la segunda pregunta
 ¿Cómo cambia (la variable) el aditivo en cada paso? Variación
Para ello debemos describir paso por paso lo que hizo el Prof. Francisco. Además, debemos considerar que el aditivo se distribuye uniformementedentro del tanque con la gasolina.
PASO 1:
Al llegar por primera vez a la gasolinera, la cantidad de aditivo es:
Antes de llenar: Después de llenar:
0 1 litro
PASO 2
Al llegar por segunda vez a la gasolinera, la cantidad de aditivo es:
Antes de llenar: Después de llenar:
0.5 1.5 litros
PASO 3
Al llegar por tercera vez a la gasolinera, la cantidad de aditivo es:
Antes de llenar:Después de llenar:
0.75 1.75 litros
PASO 4
Al llegar por cuarta vez a la gasolinera, la cantidad de aditivo es:
Antes de llenar: Después de llenar:
? ? litros
Con esto podemos abordar la tercera pregunta
 ¿Cuál es el estado próximo del aditivo? Predicción
En el paso n, sea an=Aditivo antes de llenar, An=Aditivo después de llenar
Si se continúa el proceso en la misma forma, y se vanllenando los renglones para
cada uno de los pasos en la tabla siguiente, tenemos:
Aditivo antes de llenar Aditivo después de llenar
PASO 1 a1= 0 A1= 1
PASO 2 a2= 0.5 A2=1.5
PASO 3 a3= 0.75 A3=1.75
PASO 4 a4= 0.875 A4=1.875
PASO 5 a5= A5=
PASO 6 a6= A6=
… … …
PASO n an= An=











Con esta misma tabulación podemos comparar entre cadados pasos consecutivos, la forma...