Matematica Basica

Introducción

PROGRAMA DE
ESTUDIOS BÁSICOS

MATEMÁTICA BÁSICA

•

La ecuación x2 + 1 = 0, carece de soluciones en el campo de los números reales.

Semana 03 - Clase 3
Operaciones en C

•

loge(-2) no es un número real.

2012 - I

•

Tampoco es un número real (-2)p.

•

La pregunta en general sería ¿Cuánto vale la raíz de un número negativo? Partamos
de la ecuación sinsolución real más sencilla que existe y que no posee solución en los
números reales: x2 + 1 = 0.

•

Una de sus soluciones es la unidad imaginaria i ( i2 = -1), que nos permite resolver la
raíz cuadrada de cualquier número real negativo.

•

Con esta información por ejemplo, podemos obtener todas las soluciones de las
ecuaciones de segundo y tercer grado, utilizando la fórmula de segundogrado y la
fórmula de Cardano respectivamente.

Números Complejos (I)

María del Carmen Cáceres Huamán

2
María del C. Cáceres Huamán

MATEMÁTICA BÁSICA

Números Complejos

Plano Complejo

Re(z)  0  z :imaginario puro
Im(z)  0  z : real puro

Definición

Llamamos

•

Denominamos:

•

El conjunto C, definido por

Los números complejos pueden
representarse porpuntos de un plano:
Plano de los números complejos,
también llamado Plano de Gauss o
diagrama de Argand.

•

En la figura:

a la unidad imaginaria compleja , definida de la siguiente manera i 2 = -1.

Re(z)  x

e



Im(z)  y.

 z / z  x  i y ; x  , y  , i 

1



x  i y  z    u i v  w  

Considerando

Eje Imaginario

z=(x,y)

z=x+iy.

yPolo

z  w  (x  i y)  (u  i v)  (x  u)  i(y  v)

es el conjunto de los Números Complejos.
•

Plano Complejo 

Con esta representación los Números
Complejos tienen una representación
en R2 .

Se define un número complejo z, mediante la siguiente expresión: z = x + i y ;
donde x e y son una pareja cualquiera de números reales.

•

•

•

•

i

2

0

x

Eje Real,se definen en C las siguientes

operaciones:

suma:

z  w  (x  i y)  (u  i v)  (x  u)  i(y  v)



producto: z  w  (x  i y)  (u  i v)  (xu  yv)  i(xv  uy)


3

MATEMÁTICA BÁSICA

María del C. Cáceres Huamán

3

4

María del C. Cáceres Huamán

MATEMÁTICA BÁSICA

Números Complejos

Números Complejos

Suma de Números Complejos

Igualdad deNúmeros Complejos
Sean

z  x  i y  w  u  i v,

entonces

[ zw

z  w  (x  i y)  (u  i v)  (x  u)  i(y  v)

xu  yv ]

s.s.s



Propiedades
Observación :

i

Considerando

o

i 2  1
i  i
3

i4
o

En general
en general

i

4 1




2. (z  w)  s  z  (w  s)

1
i

3.  z  x  yi   ;  z0  0  0 i   / (x  yi)  (0  0i)  x yi
Elemento Neutro Aditivo

o

i4  1

4. z  x  y i  ,   z  x  yi / z  ( z)  0  i0

i4 2   1

i5  i
MATEMÁTICA BÁSICA

z   , s    w   , se tienen las siguientes propiedades:

1. z  w  w  z

1

i 4 3   i

Elemento Inverso Aditivo

o

María del C. Cáceres Huamán

* z  w  (x  i y)  (u  i v)  (x  u)  i(y  v)
5

MATEMÁTICA BÁSICAMaría del C. Cáceres Huamán

: Sustracción de Números Complejos
6

1

06/04/2012

Números Complejos

Números Complejos

Producto de Números Complejos

Conjugada de un Número Complejo

z  w  ( x  i y)  (u  i v)  (x u  y v)  i(x v  u y)



z  x  yi  z  x  i y  x  yi

Propiedades
Considerando

Propiedades

z   , s    w   , se tienen lassiguientes propiedades:

z    w   , se tienen las siguientes

Considerando

z w w z

2.

(z  w)  s  z  (w  s)

2. z w  z w, z  z

3.

 z  x  i y   ;  z0  1  0i   / z  z0  (x  yi)  (1  0i)  x  yi  z

propiedades:

1. z  w  z  w

1.

z z
3.   
; w0
w w
4. Si z  x    z  z

Elemento Neutro Multiplicativo
1

1

4. Si z ...