matematica basica
1.- Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.
SOLUCIÓN
Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma:
(fig)
En este caso: a = 4; c = 5, de donde (fig) En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es:
Ahora,
Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: ,
2.- Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por:
, determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.
SOLUCIÓN
La ecuación , puede escribirse en las formas equivalentes:
La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y
(fig)(Fig)
En este caso:
. Luego,
Con estos datos, se tiene:
Ademas de la ecuación , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son las rectas de ecuación:
e
3.- Una hipérbola cuyo centro es el punto, tiene sus focos sobre la recta . Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine:coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.
SOLUCIÓN
Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue qué . Igualmente, como , se sigue que y por lo tanto . Asi que (fig)
(fig)
Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma:
Las coordenadas de los focos son: y . Esto es:y .
Igualmente, las coordenadas de los vértices son: y . Esto es, y .
Además, de la ecuación: , se deduce que:
; y son las ecuaciones de las asíntotas.
4.- Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: . Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas.
SOLUCIÓN
La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:
Estaúltima ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por . En esta caso, (fig)
(fig)
Además, . Con lo cual: .
Las coordenadas de los focos son: e . Esto es y . Igualmente, las coordenadas de los vértices son: e . Esto es y .
Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: ,e , .
PARABOLA
1. Halle laecuación de la elipse que tiene su centro en y cuyos focos son los puntos
y , además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto .
SOLUCIÓN:
Como la elipse corta al eje x en el punto se sigue que y como (fig) se tiene que, y por tanto .
(Fig)
De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos . Además, su ecuación viene dada por :
2. Trazar la elipse cuyaecuación viene dada por:
Solución:
La ecuación: ,puede escribirse en las formas equivalentes:
(Porqué?)
La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es y eje menor es . Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.
De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos y .
Además, losvértices de la elipse son los puntos: .
(fig). recoge toda la información obtenida.
(Fig)
3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación:
SOLUCIÓN:
La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:
(completando cuadrados)
(factorización)
(dividiendo por 4)
Esta última ecuación corresponde a la elipsecuyo centro es el punto , semiejes;
y . Como , el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (fig)
Los vértices son los puntos .
Como , se tiene que los focos están localizados en los puntos y .
(Fig)
4.-
PARABOLA
1. Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola ...
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