Matematica - metodo de gauss

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  • Publicado : 6 de diciembre de 2010
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1.) El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba, calcular el valor de las tres incógnitas.
Para transformar el sistema enuno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas, restándolas, multiplicándolas por un número, etc.)

Ejemplo 1 :Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución[pic]
La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .
[pic]
Una vez que hemos anulado lostérminos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación
[pic]
De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta
-y + 9·2 = 13 ⇒ y = 5
y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :
2x + 3·5 – 7·2 = -1 ⇒ x = -1
Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)

Por ejemplo 2:
[pic]
 
Dejamos fija la 1ªecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª
[pic]
Quitamos la y de la 3ª ecuación :
[pic]
Como se observa hemos obtenido un absurdo, ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tienesolución .
• Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0, es decir se nos anule alguna ecuación, y el sistema resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno odos parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen) .

Por ejemplo 3: Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución
[pic]
Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar laincógnita x de la 2ª y 3ª ecuación .
[pic]
Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación
[pic]
Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas...
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