Matematica Para Ingenieros

1. Resolver la ecuación
0,

frontera
0
.

,

, Donde:

0,

0, 0

,

0

,

0

,0

, bajo las condiciones en la
,

,

0,

sen

.

.

Una interpretación física deeste problema sería la determinación de la temperatura de
estado estable en una región rectangular donde tres de los lados del rectángulo se mantienen
a una temperatura conocida

.

SoluciónPara la solución de .

0

0, 0

0,

,

,

0,

,

sen

0

0

,

,

,0

Se buscara el A0 y el An para resolver la ecuación de Laplace

1
πx
A0 =
∫ sen c dx
dc 0
c

u=πx
c

∧ du =

π
c

dx

C

Ao =

1
duc
∫ sen(u) π
dc 0

Ao =

1c
*
sen(u )du
dc π ∫
0

C

,

,

0,

1
Ao =
dπ

1
dπ
2
Ao =
dπ

Ao =

C

πx 

−Cos
c 0





πc
π ( 0)  
1
1
−  Cos c − Cos c  ⇒ Ao = dπ [− (Cosπ − Cos (0) )] ⇒ Ao = dπ [− (− 1 − 1)]



Ya se tiene el coeficiente A0,

nπx 
2
πx 

An =
∫ Sen c  Cos c dx
 nπd  0 


cSenh

c
C

 πx nπx 
 πx nπx 
Sen +
 + Sen +

2
c
c
c
c
An =
2dx
 nπd  ∫
cSenh
0
c
C

u=

πx
c

An =

∧ du=

c

dx
C

2
cSenh

An =

π

nπd
c

1
nπd
cSenh
c

*

*

1
duc
∫ (Sen(u + nu) + Sen(u − nu)) π
20
c

π

C

∫ (Sen(u + nu) + Sen(u − nu))du
0

C

u − nu  u + nu  
An =
 Cos
 −  Cos
  Se Reemplaza u en la expresión
nπd 
n −1  
n +1  0 


πSenh
c

1

C

πx nπx  
πx nπx  
−
+



1
c  −  Cos c
c  Se Resuelve
 Cos c
An =
nπd 
n −1  
n +1  
πSenh



c 

0 

C

πx(n + 1)  
πx(n + 1)  
 − Cos
 −  Cos

An =
nπd 
(n + 1)  
(n + 1)  0 


πSenh

c

1

C

πx  
πx  
An =
 − Cos  −  Cos   Reemplazando
nπd 
c 
c 0 


πSenh
c

1

An =


πc
πc  
π (0)
π ( 0)  
 − Cos c −...