Matematica i

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A) Incrementos
[El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da unincremento Dx a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + Dx), la función y = f (x) se verá incrementada en Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) a partir del valor y = f (x0). El cociente

Recibeel nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x0 a x = x0 + Dx.

B) Definición
[La función f es derivable en a si
  existe.
En este caso ellímite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f.)
Definimos la tangente a la gráfica de f en(a, f (a)) como la recta que pasa por (a, f (a)) y tiene por pendiente f' (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f (a)) sólo está definida si f es derivable en a. (Spivak, 185)]
[Para unafunción dada f, la derivada f' se designa a menudo por

No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no son números,no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números 'df (x)' y 'dx'. Esta notación se debe a Leibniz (generalmente considerado como el codescubridor independientedel cálculo infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz.
Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como ellímite de los cocientes (f (a+h)-f (a))/h, sino como el 'valor' de este cociente cuando h es un número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infinitamente pequeña' fue designada por dx y lacorrespondiente diferencia 'infinitamente pequeña' f (x+dx)-f (x) por df (x). Aunque es imposible reconciliar este punto de vista con las propiedades de los números reales, algunos encuentran simpática...
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