Matematica I

Lord Barrera
2. Discontinuidades
Cuando una función falla en satisfacer la definición de continuidad en a, entonces
diremos que es discontinua en el punto a. Esto puede suceder por tres
razones:(1) El límite l´ım
x→a
f (x) existe. En este caso puede suceder que
(i) Existe f (a) y l´ım
x→a
f (x) ̸= f (a) o
(ii) No existe f (a).
(2) El límite l´ım
x→a
f (x) no existe. En este casopuede suceder que
(i) Los límites laterales existan o
(ii) Al menos uno de los límites laterales no exista.
El tipo (1) es llamado evitable y podemos redefinir la función para hacerla
continua en a.Por otro lado, el tipo (2) se llama inevitable. En el caso (i) decimos entonces
que la discontinuidad es de primera especie y en el caso (ii) que la discontinuidad
es de segunda especie.Definición 2.1. (Discontinuidad evitable). Decimos que la función f tiene una
discontinuidad evitable en a si el límite l´ım
x→a
f (x) existe; sin embargo
(i) Existe f (a) y l´ım
x→a
f (x) ̸= f (a) o(ii) No existe f (a).
En este caso la función puede hacerce continua redefiniéndola como sigue
f (x) =
{
f (x) si x ̸= a
l´ım
x→a
f (x) si x = a
Observación 2.1. Notemos que la función f (x)difiere de la función f (x) en el
punto x = a. Sin embargo para los puntos x ̸= a, ambas funciones coinciden.
6
Lord Barrera
Ejemplo 2.1. (Discontinuidad evitable del tipo (i)). Determinar si lafunción
f es continua en x = 2.
f (x) =
{
x2 si x ̸= 2
0 si x = 2
Solución. Desde que f (x) = x2 si x ̸= 2, y x2 es un polinomio, sabemos que
l´ım
x→2
f (x) = l´ım
x→2
x2 = 4 y f (2) = 0 .Esto nos dice que tenemos una discontinuidad evitable del caso (i) en x = 2.
Entonces podemos remover la discontinuidad redefiniendo el valor de la función
en x = 2, o sea, f (2) = 4. Más precisamente,hacemos
f (x) =
{
x2 si x ̸= 2
4 si x = 2
y en este caso f resulta continua en x = 2.
1 2 1 2
4
x x
y y
y = f ( ( x y = f ( ( x
4
Ejemplo 2.2. (Discontinuidad evitable del tipo (ii))....