matematica

Conjunto R de los números reales

R =Q  I.

Q

Z

N

En el conjunto R de los números reales, están
definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (∙), las cuales verifican lassiguientes propiedades (llamadas también
axiomas de cuerpo).

Axiomas de cuerpo
Sean

a, b, c, d  

1. Clausura
2. Conmutativa
3. Asociativa

a+b 

ab 

a+b=b+a

ab=ba

a+(b + c)= (a + b) + c

4. Elemento Neutro Aditivo

a (b  c)=(a  b)c

Existe 0   / a + 0 = 0 + a = a

El real 0 es llamado: elemento neutro aditivo.

5. Elemento Neutro MultiplicativoExiste 1   / a  1 = 1  a = a

El real 1 es llamado: elemento neutro multiplicativo.

6. Elemento Inverso Aditivo
Para cada número real a, existe un real único llamado
el inverso aditivode a, y que se denota “–a” tal que:

a + (-a) = 0
7. Elemento inversos Multiplicativo:
Para cada número real a  0, existe un real único llamado el
recíproco de a, (inverso multiplicativo) y quese
1
denota por a-1 ó
tal que:
a

a  a-1 = a 

1
=1
a

8. Distributiva
 a, b, c,  R , a  (b+c) = ab + ac

Consecuencias importantes de los
axiomas de cuerpo
T1. Leycancelativa:

para la adición

x+y=x+zy=z

Para la multiplicación

Si x  0,

x∙y = x∙z 

T2.

 a, b R, la ecuación:
x + a = b,
tiene una y solo una solución en R.

T3.

 x R ,T4.

x∙y=0



T5.

x R ,

si x 0, entonces

T6.

Si y  0,

entonces,

T7.

x R ,

-(-x) = x.

T8.

Si x  0,

entonces

y=z

x∙0=0
x=0

v

x
0
y

y =0.
x-1 =



x0

(x-1)-1 = x

1
x

 0.

T9.

 x, y R,

-(x + y) = (-x) + (-y)

T10.

Si x  0, y 0,

entonces

T11.

Si b  0, d  0,

entonces

T12.

Si b  0,d  0,

entonces

T13.

Si b  0, d  0,

entonces

T14.

x R ,

T15.

(-1)  (-1) = 1

(xy)-1

=

x-1.y-1

1
1 1
 
=
xy x y

a c adbc
 
b d
bd
a ad
...