matematica

 

Observa  que  la  compuesta  F(t)  depende  de  una  única  variable  (t),  la  externa  “f”  depende  de  tres variables (x,y,t). A la vez, “x” e “y” son funciones de una variable (t). Realmente la notación de la 
derivada  total  de  la  compuesta  debería  ser  F’’  y  no  Ftt.  Observa  que  este  ejercicio  puede hacerse 
más  fácilmente  sin  necesidad  de  aplicar  regla  de  la  cadena  (esto  es:  evaluamos  las  funciones, obtenemos la regla de correspondencia de la compuesta F y luego derivamos). Como piden aplicar 
regla de la cadena, procedemos:  
 F’(t) = fx (x(t), y(t), t) x’(t) + fy (x(t), y(t), t) y’(t) + ft (x(t), y(t), t)  (recuerda que t’ = 1) 
 
De aquí: 
 

[( f  (x(t), y(t), t) x’(t) +  f  (x(t), y(t), t) y’(t) + f  (x(t), y(t), t) ) x’(t) +  f  (x(t), y(t), t) x’’(t)] + [( 
f (x(t), y(t), t) x’(t) +  f  (x(t), y(t), t) y’(t) + f  (x(t), y(t), t) ) y’(t) + 
f  (x(t), y(t), t) y’’(t) ] + [ f  (x(t), y(t), t) x’(t) +  f (x(t), y(t), t) y’(t) + f  (x(t), y(t), t) ] 

F’’(t) = 

xx

yx
y

xy

yy

xt

x

yt

tx

ty

tt

 En la segundan parte del ejercicio se debe calcular las derivadas externas e internas, utilizando las 
reglas de correspondencia dadas para cada una de ellas. Sólo voy a desarrollar uno de los términos. Los otros se desarrollan de forma similar.  
fx (x, y, t) =  5x4 + 8x3y2 ‐ 2tx    fxx (x, y, t) =  20x3 + 24x2y2 ‐ 2t    fxx (x(t), y(t), t) = 20 (t4 + t2 – 7t + 4)3 + 24 (t4 + t2 – 7t + 4)2 (t3‐6)2/3 – 2t  
x’(t)  = 4t3 + 2t – 7 
y’(t) =  6 t2 (t3‐6)‐2/3