Matematica

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Primero analizamos la caída los primeros 50 metros, de la cual se realizará el calculo de velocidad vertical alcanzada al recorrer estos 50 metros. Utilizamos la siguiente ecuación:

(1) v² = 2g(h - ho) + vo²

donde

v = es la velocidad vertical alcanzada al recorrer 50 metros

g = es la aceleración de la gravedad en la tierra = -9.81 m/s²

h = es la altura al recorrer los 50 metrosho = es la altura cuando el paracaidista salta del avión.

vo = es la velocidad vertical del paracaidista al saltar del avión = 0 m/s

Pese a no conocer los valores de h y ho sabemos que la diferencia se pude expresar de la siguiente manera:

(2) Δh = h - ho

Δh = -50 m dado que ho > h

La ecuación 1 se puede expresar como:

v² = 2g(Δh) + vo²

sustituimos datos:

v² = 2(-9.81m/s²)(-50 m) + 0 m/s

v² = 981 m²/s²

v = √(981 m²/s²)

v = -31.321 m/s

NOTA: Se toma el valor negativo porque el sentido del vector de la velocidad se dirige hacia abajo.

Con esta velocidad se puede calcular el tiempo al recorrer 50 metros verticalmente, con la siguiente ecuación:

v = g.t1 + vo

donde

v = es la velocidad vertical alcanzada al recorrer 50 metros

g = es laaceleración de la gravedad en la tierra = -9.81 m/s²

t1 = es el tiempo que tarda en descender 50 metros desde el salto

vo = es la velocidad vertical del paracaidista al saltar del avión = 0 m/s

despejamos el tiempo t1

g.t1 = v - vo

t1 = (v - vo)/g

sustituimos datos

t1 = (-31.321 m/s - 0 m/s)/(-9.81 m/s²)

t1 = 3.19 s

Después de abrir el paracaídas, la aceleración queexperimenta el paracaidista cambia, por lo que la aceleración que causa el paracaídas. 

Utilizamos la siguiente ecuación para poder calcular el tiempo después de abrir el paracaídas:

v1 = a.t2 + v

donde

v1 = es la velocidad vertical alcanzada al llegar al suelo = -3 m/s

a = es la aceleración causada por el paracaídas = 2 m/s²

t2 = es el tiempo que tarda desde los 50 metros hastallegar al suelo

v = es la velocidad vertical al abrir el paracaídas = -31.321 m/s

despejamos el tiempo t2

a.t2 = v1 - v

t2 = (v1 - v)/a

sustituimos datos

t2 = (-3 m/s - (-31.321 m/s))/(2 m/s²)

t2 = (-3 m/s + 31.321 m/s)/(2 m/s²)

t2 = (28.321 m/s)/(2 m/s²)

t2 = (28.321 m/s)/(2 m/s²)

t2 = 14.16 s

El tiempo total será la suma de t1 y t2, es decir

t = t1 + t2sustituyendo datos

t = 3.19 s + 14.16 s

Respuesta (a):

t = 17.35 s

Con es te tiempo es ahora posible determinar la altura que desciende el paracaidista después de abrir el paracaídas. Utilizamos la siguiente ecuación:

h1 = ½ a.t2² + v.t2 + h

donde 

h1 = es la altura cuando el paracaidista toca el suelo = 0 m

a = es la aceleración causada por el paracaídas = 2 m/s²

t2 = es eltiempo que tarda desde los 50 metros hasta llegar al suelo = 14.16 s

v = es la velocidad vertical al abrir el paracaídas = -31.321 m/s

h = es la altura cuando al abrir el paracaídas

despejamos h

h = h1 - ½ a.t2² - v.t2

sustituimos datos

h = 0 m - ½ (2 m/s²)(14.16 s)² - (-31.321 m/s)(14.16 s)

h = - (1 m/s²)(200.5056 s²) + 443.50536 m

h = - 200.5056 m + 443.50536 m

h = 243 mUtilizando la ecuación (2), podemos despejar ho

ho = h - Δh

sustituimos datos

ho = 243 m - (-50 m)

Respuesta (b)

ho = 293 m

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Máxima velocidad alcanzada por el paracaidista.
Observamos que el paracaidista va incrementando su velocidad a medida que cae, alcanzando un máximo y luego, la velocidad disminuye hasta que llega al suelo.

Cuando se alcanza la máxima velocidaddv/dx=0. La relación entre la velocidad máxima vm y la altura xm a la que se produce es

donde vl es la velocidad límite que alcanzaría un paracaidista en una atmósfera uniforme.

Se puede calcular xm, por procedimientos numéricos si disponemos de la solución analítica v=v(x)
Ponemos como marco de referencia el globo, Observamos y hacemos equilibrio de fuerzas sobre la paracaidista, vemos...