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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
 
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que A es unamatriz cuadrada.
 
Propiedad 1.
 
 
Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
 
 
 
Ejemplo 1.
 
Sea
 
Desarrollando porcofactores del primer renglón se tiene
 

 
Propiedad 2.
 
 
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.
 

Esto es 
Ejemplo 2.
 
Sea
 
La transpuesta de A es
 
 
Propiedad 3.
 
 
Si se intercambian dos renglones (o doscolumnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.
 
 
Ejemplo 3.
 
Sea con
 
Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda
 
con
 
Noteque los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.
 
Propiedad 4.
 
 
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0. 
 
 
Ejemplo 4.
 
Sea entonces
 
 
Propiedad 5.
 
 
Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de lamatriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.
 
 
 
Ejemplo 5.
 
Sea cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,
 
Multiplicando el tercer renglón de A por el escalarr = 3 se tiene la matriz B siguiente
 

 
cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es
 Propiedad 6.
 
 
Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A,...