matematica

Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ciencias Matemáticas

Análisis Real I
Práctica

I

4 de Abril de 2013

1) Dada una función

,

.f : A -+ B

a)Pruebequeparacualesquiera X c.A,Y c A setiene .f()")\/(f)g /(X\i')
b) Pruebe que si / es in¡rectiva, entonces bajo las condiciones de a), se tiene

2) Dada una función

f

"f
:

(x)\/(n = /(x\r).l

A -+ B . Pruebe que

f (A)\f (Y) = f (A\Y)
3)Sean .f :A-+B, g:B-+C.

es inyectiva si y sólo si

cualquiera sea I'

c

A

.

/

a) Si ambas son funciones inyectivas ¿ g oes inyectiva ?
b) Si
no es inyectiva ¿ es posible que g o./ sea inyectiva ?
c) Dar un ejemplo en el cual
es inyectiva , g no es inyectiva pero g
inyectiva.

/

/

4)Dada f:A-+B,pruebe
a) X s .l -'U6» cualquiera sea X c. A
b) / es inyectiva si y sólo si .l-' (f (X)) =,Y cualquiera sea X

c

A

o;f

sea

.

5)Dada.f :A-+B,pruebe
a)
b)

f (f '(X)) e Xcualquiera sea X c. A
-'
"f (f (X)) = X

cualquiera sea X g A.
g : X --> I función sobre. Pruebe que si X es finito, entonces I'es finito y
6) Sea
card(Y) < card(X).
7) Dado un conjuntofinito X y una función f : X -> X pruebe que son equivalentes.
a) ./ es inyectiva
b) / es sobre

/

8) Sean

es sobre si y sólo si

X,Y

conjuntos finitos.
a) Pruebe que card(XUY) + card(X 0 f¡ = card(X) + card(Y)
b) ¿Cuál es la fórmula correspondiente para tres conjuntos finitos?
c)Generalice.
8) Formule nratemáticamente y pruebe la afirmación siguiente conocidacomo el
Principio de la gavetas: si m < n, entonces cuafquiera sea el modo como se
guarden n objetos en m gavetas, siempre habrá por lo menos una gaveta con más
de un objeto.
10) En cadacaso, pruebe la verdad de la afirmación o de un contraejemplo
a) Sean
:A-+ B entonces

l,-BcR, f

YYsB
f(f'()'))=I'
b) Sean A,Bc.R, f :A-+ B entonces
f-'(f(x))=x Y xe A
Tomás Núñez L