Matematica

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.
Usamos integrales triples para hallar los volúmenes de formas tridimensionales, la masa y los momentos de sólidos y los valores promedio de funcionesde tres variables.
INTEGRALES TRIPLES.
Si F(x, y, z) es una función definida sobre una región D cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla,entonces la integral de F sobre D puede definirse de la siguiente manera. Subdividimos una región rectangular que contenga a D en celdas rectangulares por planos paralelos a los planos coordenados. Lasceldas que se encuentran dentro de D de 1 a n en cierto orden; una celda típica tendrán entonces dimensiones "xk por "yk por "zk y volumen "x"xk. Escogemos un punto (xk, yk, zk) en cada celda y formamosla suma

Si F es continua y la superficie que limita a D está hecha de superficies suaves unidas a lo largo de curvas continúas, entonces cuando "xk, "yk, "zk tienden a cero independientemente, lassumas Sn tenderán a un límite

Llamamos a este límite integral triple de F sobre D. El límite también existe par algunas funciones discontinuas.
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.
Lasintegrales triples tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales simples y dobles. Si F=F(x, y, z) y G=G(x, y, z) son continuas, entonces
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Si el dominio D de unafunción continua F se subdivide por medio de superficies suaves en números finito de celda sin traslapes D1, D2,…..Dn, entonces
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EJEMPLO. Establezca los límites de integración para evaluar la integraltriple de una función F(x, y, z) sobre un tetraedro D con vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 1, 0).
Solución.
Paso 1: La superficie superior que limita a D se encuentra en el plano y=1.La superficie inferior se encuentra en el plano y=x+z. La frontera superior de R es la recta z=1-x.
La frontera inferior es la recta z=0.
Paso 2: Los límites y de integración. La recta que pasa...