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¿Qué estrategias podemos utilizar para obtener polinomios a partir de otros polinomios?

Estas estrategias son las operaciones entre polinomios. Ya que cada símbolo de un polinomio representa a un número real podemos usar, para operar con polinomios, las propiedades de las operaciones con números reales.

Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado yse suman sus coeficientes. El resultado es otro polinomio. Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1 Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2 Determinaremos el polinomio suma.

Aplicando la regla P(x) + Q(x) = = -2 x +(5 + 3 ) x – 6 x + ( -3 –5 ) x + (1 – 2)= = -2 x4 +8 x3 – 6 x2 – 8x - 1
4 3 2

Disposición práctica -2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2 -2 x4 +8 x3 - 6 x2 – 8 x - 1¿Qué método uso en mis prácticas? La elección de la forma de operar es simplemente una cuestión de preferencia personal

La suma de polinomios satisface las propiedades: a) Asociativa b) Conmutativa c) Existencia del elemento neutro d) Existencia del elemento opuesto

El polinomio nulo Op (x) tiene la propiedad que: dado cualquier polinomio P(x) se verifica que: P(x) + Op(x) = P(x)

Dado P(x)= a0 + a1 x + a2 x2 + ...+an xn el polinomio opuesto de P(x) es el polinomio que indicaremos con: -P(x) = - a0 + (- a1 ) x + (-a2 ) x2 + ...+ ( -an ) xn
En cada caso – ai designa el opuesto de ai para la suma de números reales.

Estos polinomios verifican que: P(x) + ( -P(x)) = Op(x).

Diferencia de polinomios

Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) elpolinomio opuesto de Q(x). P(x) - Q(x) = P(x) + [ - Q(x)]

Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1 y Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2 Determinaremos el polinomio diferencia de dos formas diferentes Aplicando la regla P(x) - Q(x) = = -2 x + 5 x - 3 x + 1 + (-3) x + ( 6)x + ( 5) x + 2 = = -2 x4 +2 x3 + 6 x2 + 2x + 3
4 3 3 2

Disposición práctica -2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1 -3 x3 + 6 x2 + 5 x+ 2 -2 x4 +2 x3 + 6 x2 + 2 x + 3

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los coeficientes de los términos de igual grado.

Para operar se deben tener en cuenta las propiedades: distributiva del producto sobre la suma de números reales y del producto de potencias de lamisma base

Sean nuevamente los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1 y Q(x) = 3 x2 – x + 2 , determinaremos ahora el polinomio producto P(x).Q(x) también de dos formas distintas

Aplicando la regla P(x).Q(x) = P(x) 3 x2 + P(x) (-x) + P(x) 2 = = (-2 x4 +5 x3 – 3 x + 1) 3 x2 + (-2 x4 +5 x3 – 3 x + 1) (-x) + (-2 x4 +5 x3 – 3 x + 1) 2 = = - 6 x6 + 15 x5 - 9 x3 + 3 x2 + 2 x5 – 5 x4 + 3 x2 – x –4x4 + 10 x3 – 6x + 2 = = - 6 x6 + 17 x5 - 9 x4 + x3 + 6 x2 – 7 x + 2

Disposición práctica -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1 3 x2 – x + 2 - 4 x4 + 10 x3 + 0 x2 - 6 x + 2 2 x5 – 5 x4 + 0 x3 + 3 x2 – x 6 -6 x + 15 x5 + 0 x4 – 9 x3 + 3 x2 El producto de polinomios verifica las propiedades: - 6 x6 + 17 x5 – 9 x4 + x3 + 6 x2 – 7x + 2

a) Asociativa. b) Conmutativa. c) Existencia del elemento neutro para elproducto.

El polinomio I(x) = 1 tiene como propiedad: dado cualquier polinomio P(x) se verifica que: P(x) . I(x) = P(x)

No existe inverso multiplicativo de ningún polinomio de grado mayor o igual que 1 ¿Puedes justificar por qué?

Los polinomios de grado cero ¿admiten inverso multiplicativo?

¡Esto es para pensar!!

¡Algunos productos notables!!

(x + a )2 = (x + a ) (x + a ) = x2 + 2 ax + a2 (x – a )2 = (x – a) (x – a) = x2 – 2 a x + a2 (x + a )3 = x3 + 3 a x2 + 3 a2 x + a3 (x – a )3 = x3 - 3 a x2 + 3 a2 x - a3 (x + a ) (x – a ) = x2 – ax + ax – a2 = x2 – a2 Recuerda que las expresiones cuadráticas x2 + 2 a x + a2 y x2 - 2 a x + a2 se llaman trinomios cuadrados perfectos

Recuerda que las expresiones cúbicas x3 + 3 a x2 + 3 a2 x + a3 y x3 - 3 a x2 + 3 a2 x - a3 se llaman...
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