Matematica

Introducción

Se presentara de una de las herramientas más utilizadas en ingeniería para resolver problemas procedentes de campos tan distintos como pueden ser la Teoría de Circuitos, la Elasticidad Lineal, la Transmisión de Calor o la Propagación de Ondas. Nos referimos a la Transformada de Laplace la cual fue introducida por el matemático francés Pierre Simón Laplace en 1782.
Desarrollandola transformada de Laplace inversa y sus aplicaciones en la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales, se dará a conocer paso a la resolución de estas aplicaciones.
Objetivos

Objetivo General
Conocer las funciones de la trasformada de Laplace inversa y aplicarla de la forma correta

Objetivos Específicos
Desarrollar las aplicaciones de la transformada de Laplaceinversa en la solución de ecuaciones diferenciales
La transformada inversa de Laplace
Si £{f(t)}(s) = F(s), entonces decimos que f(t) es una transformada inversa de Laplace de F(s) y se denota así:

£−1 {F(s)} = f(t)

Fórmula integral
Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por laintegral lineal:



Donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical  en el plano complejo tal que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de.
Así que lo que se va a intentar es descomponer la solución F(s) en funciones más sencillas de las que se conozca su transformada.
La transformada inversa de Laplace de F(s), no necesariamente es única.
Por ejemplo lafunción

y la función g(t) = 1 (obsérvese que f(t) ≠ g(t)) tienen la misma transformada, es decir, £{f(t)} = £{g(t)} = . Sin embargo £−1{} =f(t) y £−1{} = g(t) son diferentes.
Pero cuando f(t) y g(t) son continuas para t ≥ 0 y £{f(t)} = £{g(t)} entonces f(t) = g(t).
Para funciones continuas, £−1 es un operador lineal:
£−1{αF(s) + β G(s)} = α£−1{F(s)} + β£−1{G(s)}Aplicaciones de la trasformada de la place inversa

La Transformada de Laplace es una herramienta útil para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Como comentamos en la introducción del tema, estas ecuaciones aparecen de forma natural en la teoría de circuitos eléctricos.
Uso de la transformada de Laplace en el análisis decircuitos.
Sea una función de excitación dada por: la cual, junto con la expresión para la transformada inversa, establece una correspondencia uno a uno entre v(t) & V(s). Es decir, para toda v(t) para la cual V(s) existe, esta V(s) es única.
De esta manera se establece una poderosa herramienta para la solución de circuitos


Se supondrá que había energía almacenada en el capacitor antes de t = 0-,de tal forma que v(0+) = 9 V.
Solución:
Primero se escribe la ecuación de malla:
Con el objeto de utilizar el teorema de integración, el límite inferior debe ajustarse para que sea 0- . Entonces se escribe:
Por lo tanto:
A continuación se obtiene la transformada de Laplace en ambos lados de esta ecuación. Considerando que, donde u(t) es la función escalón unitario, entonces de tablas de latransformada de Laplace hallamos que:
Y despejando I(s):
Hallando la transformada inversa en ambos lados y considerando que & además: se obtiene inmediatamente el resultado:
Para ilustrar el método, consideremos el siguiente ejemplo: la ecuación

Junto con las condiciones iniciales

Básicamente se trata de aplicar la Transformada de Laplace y sus propiedades a de manera que teniendo encuenta, nuestro problema se convierte en el problema algebraico


De donde
Una vez obtenida L[y], hemos de usar la Transformada inversa para volver atrás y recuperar la solución del problema y. En este caso, L[y] satisface las condiciones del Teorema 14, por lo que.

Una vez realizados los cálculos.

Sistemas de ecuaciones
Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma...