Matematica

Matemáticas III
Clases Digitalizadas de Matemáticas III para
Ingeniería de acuerdo al programa de UDO
Prof. Leonardo Hernández

01/12/2010

UNIDAD I. COORDENADAS POLARES
Las coordenadas polares, son un sistema de referencia para
definir la posición de un punto en un espacio bidimensional. Sus
parámetros son el ángulo  y la distancia dirigida r. Consta de un
punto fijo o Polo(origen), y una línea semi-infinita L saliendo del
origen, a L se le conoce como eje polar.
(3

(4

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
En un sistema de coordenadas rectangulares, se puede localizar
un punto con un par ordenado (x, y), estos valores son las
distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y
respectivamente. El origen es el punto donde se interceptan los dosejes coordenados.
y
P(x0,y0)
Y0

X0

x

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando
coordenadas polares, donde el punto viene dado por el par ordenado
(r,). Allí r es una distancia dirigida y , es un ángulo expresado en
radianes.
El radio r, es la distancia dirigida desde el polo hasta el punto
en estudio. r puede ser positivo o negativo.
i. Si el radio r espositivo, se mide sobre el ángulo .
ii. Si el radio r es negativo, se mide sobre el ángulo (o
 representa el ángulo que se forma entre el eje polar y el radio
vector r. El valor de θ será positivo si se mide en sentido antihorario,
Leonardo Hernández

2

si se mide en sentido horario entonces el valor de el ángulo polar
será negativo.
El polo es el punto fijo u origen, suecuación viene expresada de
la forma (0,).
Ejes principales: Los ejes principales en coordenadas polares
vienen dados por:
a.
Eje polar, cuando =0
b.
Eje , cuando =
c.
Eje , cuando =
d.
Eje
, cuando =
Ejes secundarios: Los ejes secundarios a su vez vienen dados
cuando
UBICACIÓN DE UN PUNTO
Un punto P, en el sistema cartesiano está representado por el
par (x,y), ahora ese mismo puntopuede ser representado de la
forma (r,θ) en el sistema de coordenadas polares, pero en contraste
en coordenadas polares existe más de un par ordenado para una
misma ubicación.
/2

(r,)
r

0



3/2

Leonardo Hernández

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Los puntos en coordenadas polares pueden ser medidos de la
siguiente forma:
Cuando:

Cuando:

Cuando

Cuando:

RELACIÓN
ENTRE
RECTANGULARESCOORDENADAS

POLARES

Y

Por medio del siguiente diagrama
podemos relacionar ambos sistemas de
(r,)=(x,y)
referencia, y determinar las ecuaciones
equivalentes entre ambos.
El eje polar coincide con el eje x, y a su
vez el eje /2 con el eje y. De esta forma el
punto es equivalente en ambos sistemas de
acuerdo a las siguientes ecuaciones,
fundamentadas en trigonometría plana:Leonardo Hernández

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Si los puntos ocupan el mismo espacio en el plano se debe
cumplir
del diagrama se deduce:
→
y
y

recordamos que:

Sustituyendo nos queda,

y luego

también se verifica:
, donde
En resumen, estas ecuaciones permiten convertir de
coordenadas rectangulares (C.R) a coordenadas polares (C.P) y
viceversa, sin embargo se debe tener cuidado al transformar lospuntos, elegir el ángulo y el radio correcto, depende de analizar la
posición y no de un procedimiento mecánico. Los valores pueden no
coincidir con la posición, por la naturaleza del radio r () y el periodo
de la función tangente que es  y no 2 como ocurre con las
funciones seno y coseno. Recuerde que existen al menos 4 formas
alternas para un mismo punto en C.P
,
,
y
.
GRAFICAS DEECUACIONES POLARES
Una ecuación polar viene definida de la forma r=f(θ). Las
principales graficas estudiadas en C.R tienen su equivalente en C.P,
y se pueden obtener por medio de las relaciones correspondientes,
aquí mencionaremos solo algunas. Por otro lado las C.P, permiten
también estudiar algunas ecuaciones especiales de interés en esta
unidad y que se detallaran también más adelante....