Matematica

TEOR´ DE CONJUNTOS. IA
En un libro de COU de 1975 puede leerse la siguiente “definici´n” de o conjunto: “Un conjunto es una colecci´n de objetos, cualquiera que sea su natuo raleza”. Pregunta 1 ¿Es correcta esta definici´n? ¿Por qu´? o e Para aclarar las ideas, sea A la colecci´n de todos los n´meros naturales o u que pueden escribirse con menos de veinte palabras. Como esta colecci´n o est´formada por una cantidad finita de objetos y ´stos son n´meros natua e u rales, pueden ordenarse de menor a mayor. Sea n el mayor de todos ellos. Est´ claro que n + 1 no es un objeto de la colecci´n A. Sin embargo, n + 1 es a o el “n´mero natural siguiente al mayor n´mero natural que puede escribirse u u con menos de veinte palabras”, es decir, ¡se acaba de escribir con menos de veinte palabras!(exactamente, con quince). Por tanto, una posible definici´n correcta de conjunto ser´ o ıa: Definici´n 2 Un conjunto es una colecci´n de objetos dotados de una o o propiedad que permita decidir, sin ninguna ambig¨edad posible, si un objeto u cualquiera forma parte o no de la colecci´n. o Definici´n 3 Los objetos que forman un conjunto se llaman sus elementos o y la relaci´n entre un elemento y un conjuntoes la de pertenencia. Se o escribe x ∈ A y se lee “(el objeto) x pertenece a (el conjunto) A”. Un conjunto puede describirse, o bien exhaustivamente (es decir, nombrando a todos sus elementos, que, en tal caso, se escribir´n entre llaves), o a bien especificando la propiedad que caracteriza a tales elementos, seg´n la u Definici´n 2. Adem´s, un conjunto puede ser finito o infinito, dependiendo o a dela cantidad de objetos que tenga. Definici´n 4 Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es un subcono junto de B (en tal caso, se escribe A ⊆ B y se lee “(el conjunto) A est´ a contenido en (el conjunto) B”) si todo elemento de A es elemento tambi´n e de B. Pregunta 5 ¿Qu´ propiedades verifica esta relaci´n de inclusi´n? Si por e o o ∅ se denota al conjunto que no tiene ning´n elemento (llamadoconjunto u vac´ ıo), ¿es ∅ subconjunto de alg´n conjunto? u 1

Definici´n 6 Dos conjuntos A y B se dice que son iguales y se escribe o A = B si cada uno de ellos es subconjunto del otro, es decir, si se verifica que A ⊆ B y que B ⊆ A. Por tanto, t´ngase en cuenta que para probar que dos conjuntos son e iguales, ser´ siempre necesario probar que cada uno de ellos est´ contenido a a en el otro (dospruebas). Este proceso se llama prueba por doble inclusi´n. o a o Pregunta 7 ¿Cu´les son las propiedades de esta relaci´n de igualdad? Un ejemplo muy utilizado lo constituyen los conjuntos cuyos elementos son, a la vez, otros conjuntos. As´ se denota por P(A) al conjunto de las ı, partes del conjunto A, formado por todos los subconjuntos de A, incluyendo el conjunto vac´ y el propio A. ıo a Pregunta8 ¿Cu´ntos elementos tiene P(A)? Dados un conjunto A y un elemento x ∈ A, ¿qu´ relaciones de pertenencia, inclusi´n o igualdad se dan e o entre x, {x}, {{x}}, A y P(A)?. Definici´n 9 Dados dos conjuntos X e Y , una correspondencia entre X o e Y es una ley que asigna a elementos de X elementos de Y . Pregunta 10 Dada una correspondencia entre dos conjuntos X e Y , existe, de manera natural, lacorrespondencia inversa entre Y y X. ¿Como est´ a definida? Poner alg´n ejemplo. u Definici´n 11 Una correspondencia f entre X e Y se llama una aplio caci´n y se escribe f : X −→ Y , si verifica que a todo elemento de X se le o asigna un elemento y s´lo uno de Y . o u Pregunta 12 Poner alg´n ejemplo de una correspondencia que no sea una aplicaci´n. o Pregunta 13 Dada una aplicaci´n f entre X e Y , ¿es sucorrespondencia o inversa una aplicaci´n entre Y y X? ¿Qu´ propiedades debe cumplir para o e −1 : Y −→ X y se llama aplicaci´n que lo sea? En tal caso, se denota por f o inversa. Definici´n 14 Una aplicaci´n entre X e Y se dice que es inyectiva si a o o elementos distintos de X se le asignan elementos distintos de Y y se dice que es sobreyectiva si todo elemento de Y es asignado a alg´n elemento...