Matematica

MATERIA : MATEMÁTICA I CURSO: Ier AÑO EJE ESTRUCTURAL : III - LÍMITE Y CONTINUIDAD GRUPOS CONCEPTUALES: 1ro Límite funcional 2do Continuidad GUIA DE ESTUDIO Nro 3 TEMARIO: - TEMA 1: Límite - TEMA 2: Asíntotas - TEMA 3: Continuidad 1. Introducción a. Orientación general La presente guía de Estudio complementa el desarrollo de los contenidos tratados en clase. Como prerrequisitos es importante elconocimiento de los procedimientos aplicados al cálculo algebraico y del eje estructural II en cuanto a las características y propiedades de las funciones. La guía presenta una selección comentada y resuelta de ejercicios de límites indeterminados clasificados de acuerdo a las indeterminaciones que presenta y la aplicación al cálculo de las ecuaciones de asíntotas y continuidad de una función en unpunto. Se acompañan los subtemas con series de ejercicios propuestos. Una autoevaluación al final de la Guía permite que el cadete pueda evaluar sus conocimientos respecto del conjunto de temas estudiados. Resumen de contenidos

Límite de una función en una variable

Límite determinado

Límite indeterminado

x → a a∈R

x→∞

Salvar por factoreo

Salvar por racionalización Asíntotas∞ ∞

∞−∞

Continuidad
b. Bibliografía

CONTENIDOS Y TEMAS LÍMITE, ASÍNTOTA Y CONTINUIDAD

FUENTE BIBLIOGRÁFICA Haeussler, Paul, E.F.,Richard, S.P. “Matemática para Administración, Economía, Cs. Sociales y de la Vida” Editorial Prentice may 8ª Ed. México 1997 – Capítulo 11 Larson – Hostetler. “Cálculo” Vol. I Ed. H.Mifflin 7ª Ed. 2003 – Capítulo 1 Smith R.T. Minton R.B. “Cálculo” Vol IEd. Mc Graw Hill. 2000 – Capítulo 1

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2. Desarrollo Tema 1: LÍMITE La noción de límite es muy importante en el Cálculo, fundamentalmente para el estudio del comportamiento de una función en las cercanías de un punto, para encontrar las ecuaciones de las asíntotas de ciertas funciones y analizar la continuidad en puntos específicos. Con este objetivo, se calculan límites con la variabletendiendo a valores reales o bien a infinito. Se presentan límites determinados e indeterminados. A continuación se presenta un conjunto de ejercicios con su resolución comentada . LÍMITES INDETERMINADOS 1) Calcule el siguiente límite, estableciendo previamente la indeterminación:

 x 3 − 19 x + 30  lím  = x 2 − 3x  x →3 

0 0

(IND )

Como se observa al reemplazar a la variable x por 3,se hace cero tanto el numerador como el denominador, esto implica que x = 3 es raíz de ambos. Debemos descomponer en factores, ambos polinomios, para poder eliminar la indeterminación. En el numerador aplicamos la regla de Ruffini con x = 3 , pues es la raíz que nos interesa:

1 3 1
Luego, el numerador resulta igual a :

0 3 3

-19 9 -10

30 -30 0

(x − 3) ⋅ (x 2 + 3x − 10 )
x ⋅ ( x −3)

También debemos descomponer en factores el denominador, pero aquí podemos sacar factor común x:

Volvemos a la expresión del límite y reemplazamos ambos polinomios por sus factores:

lím
x →3

(x − 3) ⋅ (x 2 + 3x − 10) x ⋅ ( x − 3)

Simplificamos el factor (x − 3) de numerador y denominador y pasamos al límite para x → 3 , quedando:

 x 2 + 3 x − 10  8 lím  = 3 x →3 x  2) Calcule el siguiente límite, estableciendo previamente la indeterminación:

x → −2

lím

 3x + 7 − x + 3  0  = x2 + x − 2   0

(IND )

En este tipo de indeterminaciones, que contienen raíces cuadradas, debemos utilizar como artificio matemático la racionalización, multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada de la que aparece en el problema. En nuestro caso solo aparecenraíces cuadradas en el numerador, veamos como queda:

x → −2

lím

 3x + 7 − x + 3 ⋅  x2 + x − 2 

(

(

)( ) (

3x + 7 + x + 3  = 3x + 7 + x + 3 

) )

2

Tenemos una diferencia de cuadrados en el numerador, además debemos buscar las raíces del polinomio que se encuentra en el denominador para descomponerlo en factores y así poder lograr alguna simplificación que nos...