matematica

Operaciones definidas en el conjunto de los números reales:
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones, que llamaremos  adición y multiplicación.
Decir que la adición y la multiplicación son operaciones definidas en el conjunto de los números reales significa
que si dos números reales se relacionan mediante alguna de estas dos operaciones el resultado es un numeroreal.


Orden en el conjunto de los números reales
Representación de los números reales
Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica)
de la siguiente manera: dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de esta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la rectaen segmentos que
tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así  representar los números enteros, los números
1; 2; 3; 4; ::: (en este orden) a la derecha del cero y los números-3;-2;-1; ::: (en este orden) a la izquierda del
cero.

                                Números Enteros
               ...-4 -3 -2 -1     0    1 2 3 4 5 6 7 8 9...
          Enteros Negativos   EnterosPositivos

·         La relación “menor que" en el conjunto de los números reales
Sean a € R;  b € R. Se dice que  a  es menor que b, y se escribe a < b, si a - b es un numero negativo.
Por ejemplo:
a.) 2 < 3 pues 2 -3 =  -1  y -1 es negativo
b.) -3 < 1 pues  -3 -1 = -4  y  -4 es negativo
c.) -5 < -2 pues -5 - (-2) = -3  y -3 es negativo


·         La relación “mayor que" en el conjunto de losnúmeros reales
Sean a € R; b  € R, se dice que a es mayor que b, y se escribe a > b, si  a - b es un numero positivo.
a.) 5 > 2 pues 5 -2 = 3 y 3 es positivo
b.) 3 > -1 pues 3 - (-1) = 4 y 4 es positivo
c.) -2 > -4 pues -2 - (-4) = 2 y 2 es positivo

1.)   La distancia entre 1 y 4 es 3, pues 4 - 1 = 3
2:) La distancia entre 2 y -3 es 5, pues 2 - (-3) = 5
3:) La distancia entre -7 y -3 es 4,pues -3 - (-7) = 4


Los números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
Los números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par yradicando negativo y la división por cero.
Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.
Intervalos
Intervalo abierto
(a, b) = {x   / a < x < b}
Intervalo cerrado
[a, b] = {x   / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierda
(a, b] = {x   / a < x ≤ b}Intervalo semiabierto por la derecha
[a, b) = {x  / a ≤ x < b}
Semirrectas
x > a
(a, +∞) = {x   / a < x < +∞}
x ≥ a
[a, +∞) = {x   / a ≤ x < +∞}
x < a
(-∞, a) = {x  / -∞ < x < a}
x ≤ a
(-∞, a] = {x   / -∞ < x ≤ a}
Valor absoluto

Propiedades
|a| = |−a|
|a · b| = |a| ·|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
Distancia
d(a, b) = |b − a|
Entornos
Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r),al intervalo abierto (a-r, a+r).
Er(a) = (a-r, a+r)
Entornos laterales:
Por la izquierda
Er(a-) = (a-r, a)
Por la derecha
Er(a+) = (a, a+r)
Entorno reducido
E r*(a) = { x  (a-r, a+r), x ≠ a}
Potencias
1 Con exponente entero

2 Con exponente racional

Propiedades
1 a0 = 1 · 7.an : b n = (a : b) n
2 a1 = a
3 am · a n = am+n
4 am : a n = am - n
5 (am)n=am · n
6 an · b n = (a · b) n
Radicales
Un radicales una expresión de la forma , en la que n   y a   ; con tal que cuando a sea negativo, nha de ser impar.
Se puede expresar un radical en forma de potencia:
     
Radicales equivalentes
     
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.
Reducción de radicales a índice común...