Matematicas 2
Páginas: 2 (493 palabras)
Publicado: 24 de marzo de 2013
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a
Coordinaci´n de Matem´tica II (MAT022)
o
a
Ayudant´ No 1
ıa
Ejercicios propuestos
1. Verdadero o Falso (si esfalso dar un contraejemplo)
a ) Si A2 est´ definido entonces A es cuadrada
a
Sol: Verdadero justificar con ´rdenes (n × m) · (n × m)
o
(para que este bien definida) n = m
b ) Si AB y BA est´ndefinidas entonces A y B son cuadradas.
a
Falso. Por ejemplo 2 × 3 por 3 × 2 ambos productos estan bien definidos pero las matrices no son
cuadradas.
c ) Si AB y BA est´n definidas entonces AB y BAson cuadradas.
a
Verdadero justificar con ordenes n × m y j × p implica m = j y p = n se sigue que los resultantes
son matrices de orden m × m y n × n.
d ) (AB )2 = A2 B 2
Falso. Buscar uncontraejemplo. (matrices que no conmuten por ejemplo)
2. Si A = (aij )n×n = (i + j )n×n y B = (bij )n×n = (i − j )n×n calcular el ij del producto AB .
Soluci´n: Tenemos que
o
n
(AB )ij
=
Aik Bkjk=1
n
(i + k ) (k − j )
=
k=1
n
ik − ij − jk + k 2
=
k=1
n
n
k=1
=i
n
k − ijn − j
=i
k2
k+
k=1
k=1
n (n + 1)
n (n + 1) 1
− ijn − j
+ n (2n + 1) (n +1)
2
2
6
3. Encontrar An para
A=
ab
0a
1
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a
Soluci´n: Calcular algunos t´rminos y luego proceder porinducci´n
o
e
o
A=
ab
0a
A2 =
ab
0a
=
ab
0a
A4 =
ab
0a
A
3
2
=
a2 2ab
0 a2
=
a3 3a2 b
0
a3
=
a4 4a3 b
0
a4
3
4
entonces postulamos laf´rmula
o
an nan−1 b
0
an
An =
demostrarlo por inducci´n.
o
4. El error al medir el radio de una esfera es a lo sumo de 1 %. ¿Qu´ porcentaje de error se obtiene al estimar
e
el ´rea dela superficie de la esfera?
a
Soluci´n: Sea r la longitud del radio y ∆r el error que se comete al aproximar r entonces
o
dr
< 0,01
r
si dS es el error en el ´rea superficial entonces el error...
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a
Coordinaci´n de Matem´tica II (MAT022)
o
a
Ayudant´ No 1
ıa
Ejercicios propuestos
1. Verdadero o Falso (si esfalso dar un contraejemplo)
a ) Si A2 est´ definido entonces A es cuadrada
a
Sol: Verdadero justificar con ´rdenes (n × m) · (n × m)
o
(para que este bien definida) n = m
b ) Si AB y BA est´ndefinidas entonces A y B son cuadradas.
a
Falso. Por ejemplo 2 × 3 por 3 × 2 ambos productos estan bien definidos pero las matrices no son
cuadradas.
c ) Si AB y BA est´n definidas entonces AB y BAson cuadradas.
a
Verdadero justificar con ordenes n × m y j × p implica m = j y p = n se sigue que los resultantes
son matrices de orden m × m y n × n.
d ) (AB )2 = A2 B 2
Falso. Buscar uncontraejemplo. (matrices que no conmuten por ejemplo)
2. Si A = (aij )n×n = (i + j )n×n y B = (bij )n×n = (i − j )n×n calcular el ij del producto AB .
Soluci´n: Tenemos que
o
n
(AB )ij
=
Aik Bkjk=1
n
(i + k ) (k − j )
=
k=1
n
ik − ij − jk + k 2
=
k=1
n
n
k=1
=i
n
k − ijn − j
=i
k2
k+
k=1
k=1
n (n + 1)
n (n + 1) 1
− ijn − j
+ n (2n + 1) (n +1)
2
2
6
3. Encontrar An para
A=
ab
0a
1
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a
Soluci´n: Calcular algunos t´rminos y luego proceder porinducci´n
o
e
o
A=
ab
0a
A2 =
ab
0a
=
ab
0a
A4 =
ab
0a
A
3
2
=
a2 2ab
0 a2
=
a3 3a2 b
0
a3
=
a4 4a3 b
0
a4
3
4
entonces postulamos laf´rmula
o
an nan−1 b
0
an
An =
demostrarlo por inducci´n.
o
4. El error al medir el radio de una esfera es a lo sumo de 1 %. ¿Qu´ porcentaje de error se obtiene al estimar
e
el ´rea dela superficie de la esfera?
a
Soluci´n: Sea r la longitud del radio y ∆r el error que se comete al aproximar r entonces
o
dr
< 0,01
r
si dS es el error en el ´rea superficial entonces el error...
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