Matematicas 7

Ecuaciones Diferenciales



























1.1Definiciones y terminología
Clasificación
Tipo
Ordinarias. Una sola variable independiente
- 2 + 6y = 0
(x + y) dx -4y2 dy = 0

Parciales. Más de una variable independiente ,
= 2
= -
Orden. El orden de la derivada más alta
- 2 3 + 6y = x
Linealidad. Debe tener la formaa2(x) + a1(x) + a0(x)y = g(x)

Notar que
i) Tanto y como sus derivadas son de primer grado (potencia = 1)
ii) Los coeficientes ai(x) sólo dependen de x.

De una ecuación que no es de esta forma se dice que es no lineal

Ejercicio. Clasificar las ecuaciones
xdy + ydx = 0
y'' - 2y' + y = 0
x3 - x2+ 3x + 5y = ex
y y'' - 2 y' = x
+ y2 = 0
(sen x)y"' - (cos x) y' = 2
+ 9y =sen y

Solución. Una función y = f(x) cualquiera es solución de la ec. diferencial si al ser sustituída en dicha ecuación conduce a una identidad.
Ejemplos
1) y = x4/16 es solución de
- xy1/2 = 0
puesto que y' = x3/4 y sustituyendo en la ec. dif.

x3/4 - x(x4/16)1/2 = 0
2) y = xex es una solución de

y'' - 2y' + y = 0
ya que y' = xex + ex
y'' = xex + 2ex
Obsérvese quey'' - 2y' + y = xex + 2ex - 2(xex + ex) + xex
= 2xex - 2xex + 2ex - 2ex
= 0
c) y = c/x + 1 es solución de
x+ y = 1
d) Las funciones y1 = c1cos 4x e y2 = c2 sen 4x son soluciones de
y'' + 16 y = 0
e) La función y = y1 + y2 del ejemplo anterior también es solución.

1.2 Interpretación física de las ecuaciones diferenciales
Objetos en caída libre.Los objetos cercanos a la superficie de la tierra tienen una aceleración constante.
= -g
y: distancia recorrida a un tiempo t
Masa suspendida por un resorte
Segunda ley de Newton. ∑F = ma
Ley de Hooke. F = -kx
x: desplazamiento de la masa


mx'' + kx = 0
Péndulo.Segunda ley de Newton.

+ sen  = 0
para desplazamientos pequeños
+  = 0
Notar que tiene la misma estructuraque la ecuación del resorte

Circuito RLC



2a. Ley de Kirchoff. Suma de las caídas de voltaje es igual a la tensión aplicada.

Caídas de voltaje.
En un inductor: L =
En un capacitor: q
En un resistor: Ri = R

L + R + q = E(t)

Ecuación de la catenaria
2a. Ley de Newton





= 





2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
2.1 Variables separables
Unaecuación diferencial de la forma
= (1)
es separable o tiene variables separables.
La solución de (1) es
h(y)dy = g(x)dx + c
Ejemplos. Demostrar
a) La solución de (1 + x) dy - y dx = 0 es
y =c(1 + x)
b) La solución de = con condición inicial y(4) = 3
es x2 + y2 = 25 (solución implícita)




c) La solución de x e-y sen x dx - y dy = 0
es
- x cos x + sen x= yey - ey + c(solución implícita)

d) La solución de xy4 dx - (y2 + 2)e-3x dy = 0
es
e3x (3x - 1) = + + c (solución implícita)
e) Transforme la ecuación a la forma de variables separables y demuestre que la solución en forma impícita es x + y + 2 = cey. = ,
Sugerencia: use la sustitución u = x + y + 1
f) La solución de = 2 + es 4(y - 2x + 3) = (x + c)2
2.2 Ecuaciones homogéneas
Laecuación diferencial
M(x, y) dx + N(x,y) dy = 0
es homogénea si M y N son homogéneas del mismo grado, esto es,

M(tx, ty) = tn M(x, y) y N(tx, ty) = tn N(x, y)
Funciones homogéneas de grado n

Importancia: Una ec. diferencial homogénea siempre se puede reducir a una ec. diferencial de variables separables por medio de una sustitución algebraica.

Determine si las funcionessiguientes son homogéneas y el grado.
a) f(x, y) = x - 3 + 5y
f(tx, ty) = tx - 3 + 5ty
= t( x - 3 + 5y)
= t f(x,y) .
La función es homogénea de grado 1
b) f(x, y) =
c) f(x, y) = x2 + y2 + 1
d) f(x, y) = + 4
Se puede determinar la homogeneidad examinando el grado de cada término:
grado 4 ( = 2 + 2)
e) f(x, y) = 6xy3 - x2y2

grado 4 ( = 1 + 3)
función homogénea de grado 4...