matematicas bachillerato

CENTRO DE BACHILLERATO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Al concluir la unidad, el alumno conocerá y aplicará las propiedades relacionadas
con el lugar geométrico llamado circunferencia, determinando los distintos
parámetros , su ecuación respectiva y viceversa.
4.1.- Obtención de la ecuación de la circunferencia
DEFINICION y ECUACION.- La circunferencia es el lugar geométrico del conjunto
depuntos equidistantes de un punto fijo, llamado centro. A la distancia fija de
cualquier punto de la circunferencia al centro se le denomina radio (r).

{

R = ( x, y ) PC = r

}

Si en la figura 1, se considera el centro C(h, k) fijo (de coordenadas
constantes) y el punto P(x, y) que gira alrededor de C, conservando la distancia r
constante, se tiene la gráfica de la circunferencia.
YP(x,y)
r
C(h,k)

X
O
Fig. 1
Aplicando la fórmula para la distancia entre dos puntos se obtiene:
r = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2

Elevando al cuadrado ambos miembros

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2

(Ecuación de la circunferencia en forma ordinaria

(1)

Desarrollando los binomios al cuadrado y ordenando términos, se obtiene:
x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h 2 + k 2 − r 2 = 0
Seobserva que los términos cuadráticos tienen el mismo coeficiente;
condición que caracteriza a la ecuación de la circunferencia.
Si se hace: −2h = D,
de la ecuación:

−2k = E, y

h2 + k2 – r2 = F, se obtiene una nueva forma

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

(2)

A esta ecuación se le llama forma general de la circunferencia.
Para utilizar la ecuación (1) se puede observar que se requiereconocer los valores
de las coordenadas del centro y la longitud del radio.
4.1.1 Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
Si h = k = 0, es decir, cuando el centro de la circunferencia está en el origen
de coordenadas (Figura 2), al sustituir en (1) se obtiene:
x2 + y2 = r 2

(1 A)

Que es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

Fig.2

EJEMPLO 1.4
Escribala ecuación de la circunferencia que tiene por centro el origen y que pasa
por el punto A(6, 8).
Solución
Se conocen las coordenadas del centro, pero no el radio, por lo tanto, de la
ecuación (1A):
x 2 + y 2 = r 2 , sustituyendo (x,y)
(6) 2 + (−8) 2 = r 2 , luego
r 2 = 100 , extrayendo la raíz cuadrada se obtiene
r = 10 .
Por lo tanto la ecuación pedida es:
x 2 + y 2 = (10) 2

o

x 2+ y 2 = 100

4.1.2 Ecuación de la circunferencia con centro en cualquier punto.
La ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(h, k) y radio r es:
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2

(1)

EJEMPLO 2.4:
Escriba la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C (3, 5) y su radio
es igual a 8.
Solución.
Datos h = 3; k = 5 r = 8
Utilizando la ecuación (1)
(x − 3)2 + (y −5)2 = 64 (forma ordinaria)
Desarrollando los binomios y simplificando, después de ordenar, se obtiene:
x2 + y2 − 6x – 10y − 30 = 0 (forma general)
En donde: D = −6, E = −10, F = −30

EJEMPLO 3.4: Escribir la ecuación de la circunferencia con centro en el punto de
coordenadas C(-3, -2) y radio igual a 5.
Solución:
Utilizando la ecuación (1)
(x + 3 )2 + (y + 2)2 = 25 (forma ordinaria)Quitando paréntesis y reduciendo queda:
x2 + y2 + 6x + 4y - 12 = 0 (forma general)
En este ejemplo:
D = 6, E = 4,

F = -12.

CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES CONDICIONES.- Examinando
las ecuaciones (1) y (2), vemos que ambas contienen tres constantes arbitrarias o
parámetros, que podrán calcularse en cada caso, si podemos establecer tres
ecuaciones que liguen esos parámetros: h, k, r, obien D, E, F.
EJEMPLO 4.4: Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
(5, -1), (4, 6) y (-2,-2).
Solución: Para resolver este problema, se puede utilizar cualquiera de las dos
formas de la ecuación de la circunferencia.
Si utilizamos la ecuación (2):
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

(2).

Como las coordenadas de cada uno de los puntos deben satisfacer la
ecuación...