matematicas basica

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DEL VALLE DE
TOLUCA

CURSO DE INDUCCIÓN DE:

MATEMÁTICAS

COMUNIDAD ESTUDIANTIL

ELABORADO POR:

M. en C. JORGE RAMIREZ FRANCO
Dra. ARIADNA VELÁZQUEZ ARRIAGA

Almoloya de Juárez, Agosto de 2014.

1. CONJUNTOS DE NÚMEROS
(Los Números y sus
Operaciones)
1.1. Los Números Naturales
El conjunto de los números naturales, usualmente denotado por el símbolo, puede definirse

(por extensión), como

Entre los elementos de este conjunto de números se pueden realizar dos Operaciones: La Suma (o
Adición) “ + ”, y la Multiplicación (o Producto) “ ∙ ”. Es fácil verificar que se cumplen las siguientes
propiedades respecto de estas dos operaciones:
•

N1: La suma de naturales es asociativa:

•

N2: La suma en

•

N5: El producto denaturales es asociativo

•

N6: El producto en

es conmutativa:

es conmutativo:

• N7: Existe un único número natural, denotado por 1 , llamado Neutro Multiplicativo, tal
que
•

N9: El producto de naturales se distribuye con respecto a una suma:

•

N11: Cerradura de la Suma: La suma de cualesquiera dos números naturales es otro

número natural.
•

N12: Cerradura del producto: Elproducto de cualesquiera números naturales es, de nuevo,

un número natural
E J E R C I C I O S:
1. Dados los conjuntos:
0={1,3,5,7,9,……} y E={2,4,6,8,……}
Argumentar si estos conjuntos (por separado), son cerrados respecto de las operaciones de
(a) adición, y (b) multiplicación.

1.2. Los números Enteros ( )
Los números enteros, denotados por Z (y, algunas veces, por Ε ), son unaextensión de los
números naturales, y pueden definirse por extensión como:

Z={0,±1,±2,±3,…..}
En realidad se construyeron para poder hacer (definir) la resta entre cualesquiera números
naturales, sin dejar de cumplir las propiedad de la suma y producto con naturales:
•

Ejemplo: Una de las propiedades de los números (reales) que no cumplen los naturales es
la existencia de inversos aditivos. Unavez agregados estos inversos, se puede definir la
operación de “resta” de enteros (naturales), para la que se garantiza la cerradura en Z :

De esta manera, para los números enteros, además de verificarse las propiedades N1, N2, N5, N6,
N7, N9, N11, N12 de los naturales, también son válidas las siguientes:
•

Z3: Existe un único número entero, denotado por 0 , llamado neutro aditivo, talque
,
para todo entero a .

•

Z4: Para cada número entero a , existe un único número entero −a , llamado el inverso
aditivo de a , tal que

a + (−a) = (−a) + a = 0 .
•

Z10 (Ley de Tricotomía): Para todo número entero se cumple una, y sólo una, de las
siguientes posibilidades:
a =0, a >0 ó a 0 ó a 0 y b > 0 , entonces a + b > 0 .
R12: La multiplicación es cerrada: Si a > 0 y b > 0, entonces a*b > 0 .
EJEMPLOS
1. Si a + x = a , la unicidad del inverso aditivo (R4), asegura que x = 0 .
2. Resuelva la ecuación x + 3 = 5 . Sumando el inverso aditivo de 3 en ambos lados (R4), se tiene

x + 3 + ( −3) = 5 + ( −3) ,
asociando términos en el miembro izquierdo, y la reescritura y asociación del lado derecho:

[ x + 3] + ( −3) = [ 2 + 3] + ( −3) ,
resulta, luego de asociaren ambos lados y usar el neutro aditivo en ellos,

x=2
3. Argumente por qué a * 0 = 0 . Como se tiene a*0 + a*0 = a*( 0 + 0 ) = a*0 , por la unicidad del
neutro aditivo, resulta evidente la afirmación.
4. Verifique que a*( −1) = −a . De acuerdo con (R7), a*1 = a . De aquí que podemos escribir,
luego de factorizar en la segunda igualdad, y usar el inverso aditivo de 1, y el ejemplo 3anterior,

a + a*( −1) = a*1+ a*( −1) = a*(1 + ( −1) ) = a*0=0,
de donde podemos concluir el resultado porque el inverso aditivo de a es único.
5. Muestre que si a*b = 0 , se tiene a = 0 o b = 0 . Sin pérdida de generalidad podemos suponer
que a ≠ 0 (y demostraremos que b = 0 ). Siendo a ≠ 0 , multiplicamos por el inverso
multiplicativo de a a la izquierda, y en ambos miembros de la ecuación,...