Matematicas Ii

ECONOMÍA APLICADA III
TEMA 4: PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA CON RESTRICCIONES. 1. 2. 3. 4. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD. FUNCIÓN DE LAGRANGE. CONDICIONES NECESARIAS Y CONDICIONES SUFICIENTES DE OPTIMALIDAD. INTERPRETACIÓN ECONOMICA DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD.

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1. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD. FUNCIÓN DE LAGRANGE

Laformulación general del problema con restricciones de igualdad es
Opt f ( x ) s.a. g( x ) b

donde f : R n

R , g : Rn

R m , g( x ) ( g 1 ( x ), g 2 ( x ),..., g m ( x )) , g j : R n

R , i 1,..., m , b R m .

Supondremos que tanto la función objetivo como las funciones que determinan las restricciones son de clase dos, f C 2 ( R n ) , g C 2 ( R n ) , pues las condiciones de optimalidadque vamos a desarrollar requieren la existencia y continuidad de las derivadas de primer o segundo orden de todas las funciones. Definición: La función de Lagrange o lagrangiana del problema es la función de n m variables

L( x, λ )
es decir, L( x1 ,..., xn , λ1 ,..., λm ) Las variables λ j

f ( x ) λt ( g( x ) b ), x R n , λ R m
m

f ( x1 ,..., xn )
j 1

λ j ( g j ( x1 ,..., xn ) b j )j 1,..., m se denominan multiplicadores de Lagrange.

Ejemplo: Para el problema

Opt x s .a . x 2

y

z y2 4 2

x 3z

la función lagrangiana es L( x, y , z; λ1 , λ2 ) x y z λ1( x 2 Propiedades:

y 2 2 ) λ2 ( x 3z 4 ) .

1. En las soluciones factibles coinciden los valores de la función objetivo con los valores de la función lagrangiana, es decir, L( x , ) f ( x ), x X , Rm . 2.El gradiente de la función lagrangiana puede expresarse en función de los gradientes de las funciones f y de g j , j 1,..., m , como

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G. ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS Y DERECHO
L( x , λ )
x L( x , λ ) λ L( x , λ ) m

f(x)
j 1

λj g j( x )

( g( x ) b )

3. Si ( x*,λ*) es un punto crítico de L( x , λ ) , entonces x * pertenece al conjunto de soluciones factibles y elgradiente de la función objetivo en x * es combinación lineal de los gradientes de las funciones restricción en ese punto.
m

Si

L( x*, λ*)

f ( x*)
j 1

λ*j g j ( x*)

m

θ , entonces

f ( x*)
j 1

λ*j g j ( x*) y x*

X.

( g( x*) b )

2. CONDICIONES NECESARIAS Y CONDICIONES SUFICIENTES DE OPTIMALIDAD Teorema: (Condición necesaria de primer orden). Si x * es un óptimo localdel problema, y Jg( x*) θ , entonces existe λ* un punto crítico de la Lagrangiana. Ejemplo:

R m , tal que ( x*,λ*) es

Opt x 2 y 2 s.a. x y 4
La función de Lagrange es L( x , y; λ ) x 2

y 2 λ( x y 4 ) . Los puntos críticos de la lagrangiana 2x λ 2y λ θ . En este caso, sólo hay un punto crítico son aquellos tales que L( x , y ; λ ) ( x y 4) ( 2, 2; 4 ) . Por tanto ( 2, 2 ) es un posibleóptimo del problema.
A continuación se establecen condiciones necesarias y condiciones suficientes de optimalidad que están basadas en las derivadas de segundo orden de la función lagrangiana. Denotaremos por H x L( x*, λ*) a la matriz de las derivadas de segundo orden de la función lagrangiana con respecto a las variables principales x . Teorema: (Condición necesaria de segundo orden). Sea (x*,λ*) es un punto crítico de la lagrangiana, y rg( Jg( x*)) m . a) Si x * es un mínimo local del problema, entonces la forma cuadrática p t H x L( x*, *) p es D.P. o S.D.P. en el subespacio de vectores { p R n / S.D.N. en el subespacio de vectores { p R n /

g j ( x*)t p 0, j 1,..., m } . g j ( x*)t p 0, j 1,..., m } .

b) Si x * es un máximo local del problema, entonces la forma cuadrática p t H xL( x*, *) p es D.N. o

ECONOMÍA APLICADA III
Teorema: (Condición suficiente de segundo orden). Sea ( x*, *) es un punto crítico de la Lagrangiana, rg( Jg( x*)) m . a) Si la forma cuadrática

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p t H x L( x*, *) p

es D.P. en el subespacio de vectores

{p

Rn /

g j ( x*)t p

0, j 1,..., m } , entonces x * es un mínimo local estricto.

b) Si la forma cuadrática

p t H x...