matematicas ii

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2009

MATEMÁTICAS II
TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO

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Junio, Ejercicio 4, Opción A

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Junio, Ejercicio 4, Opción B

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Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A

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Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B

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Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A

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Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B

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Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A

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Reserva 3,Ejercicio 4, Opción B

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Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A

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Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B

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Septiembre, Ejercicio 4, Opción A

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Septiembre, Ejercicio 4, Opción B

http://emestrada.wordpress.com

x = 1
x = µ


Se considera la recta r definida por r ≡  y = 1
y la recta s definida por s ≡  y = µ − 1 . Halla la
z = λ − 2

 z = −1

ecuación de la rectaperpendicular común a r y s.
MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N
Cualquier punto de la recta r tendrá de coordenadas A = (1,1, λ − 2 ) y cualquier punto de la recta s
tendrá de coordenadas B = ( µ , µ − 1, −1) .
→

→

El vector AB tendrá de coordenadas: AB = ( µ − 1, µ − 2, −λ + 1)
→

Como el vector AB tiene que ser perpendicular a la recta r y sse debe cumplir que:
→

→

AB⋅ u = 0 ⇒ −λ + 1 = 0
→

→

AB⋅ v = 0 ⇒ µ − 1 + µ − 2 = 0
3
Resolviendo las dos ecuaciones, obtenemos que λ = 1 y µ = .
2
Luego, la recta que nos piden pasa por el punto A = (1,1, −1) y su vector director es el
→
1 1 
AB =  , − , 0  = (1, −1, 0)
2 2 

x −1 y −1 z + 1
=
=
1
0
−1
x = 1
x = µ



 A = (1,1, − 2)

 B = (0, − 1,− 1)
⇒ →
Otra forma: r ≡  y = 1
s ≡  y = µ − 1 ⇒ →

 u = (0,0,1)
 z = −1
 v = (1,1, 0)

z = λ − 2 


La perpendicular común tiene de ecuación:

→

→

→

i

j

k

Calculamos el vector u ∧ v = 0
1

0
1

1 = (− 1,1, 0)
0

→

→

→ →

→

x −1 0

Calculamos el plano determinado por ( A, u , u ∧ v ) = y − 1 0

z+2 1
→ →

→

x

1Calculamos el plano determinado por ( B, v , u ∧ v ) = y + 1 1

z +1 0

Luego, la perpendicular común es:

x + y − 2 = 0

z + 1 = 0

−1
1 = x+ y−2 = 0
0
−1
1 = z +1 = 0
0

x + y = 2
Considera la recta r definida por 
y la recta s que pasa por los puntos A(2,1, 0)
y+z = 0
y B(1, 0, − 1) .
a) Estudia la posición relativa de ambas rectas.
b) Determina un punto C de la recta r talque los segmentos CA y CB sean perpendiculares.
MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N

a) Calculamos las ecuaciones implícitas de la recta s.
x − y = 1
x − 2 y −1 z
=
=
⇒
−1
−1 −1  x − z = 2
x + y = 2
y + z = 0

Formamos el sistema con las ecuaciones de las dos rectas: 
y calculamos el rango de la
x − y =1

x − z = 2

matriz delos coeficientes y el de la matriz ampliada del sistema. Como sale que el rango(A) = 3 y
el rango (M) = 3, las dos rectas son secantes.
→

b) Cualquier punto C tiene de coordenadas C (2 − t , t , − t ) . Calculamos los vectores CA = (t ,1 − t , t ) y
→

CB = (− 1 + t , − t , − 1 + t ) , y como tienen que ser perpendiculares, tenemos:
→

→

CA⋅ CB = 0 ⇒ 3t 2 − 3t = 0 ⇒ t = 0 ; t = 1Luego el punto C puede ser: C (2, 0, 0) ; C (1,1, − 1)

Considera el punto A(1, − 2,1) y la recta r definida por las ecuaciones

x + y = 2

2 x + y + z = 7

a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.
b) Calcula la distancia del punto A a la recta r.
MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N

x = 5 − t
x + y = 2

⇒ r ≡ y= −3+ t
a) Pasamos la recta r a paramétricas r ≡ 
2 x + y + z = 7
z = t

El plano tiene como vector normal el vector director de la recta ( − 1,1,1) , luego, su ecuación será:
−x+ y+ z+D =0
y, como debe pasar por el punto A = (1, − 2,1) , se debe cumplir:
− 1 ⋅1 + 1 ⋅ (− 2) + 1 ⋅1 + D = 0 ⇒ D = 2
Por lo tanto, el plano pedido tendrá de ecuación:
−x+ y+ z+2=0
b) Calculamos el...