Matematicas Y Algebra
Páginas: 31 (7607 palabras)
Publicado: 6 de junio de 2012
Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como
Las constantes a0, …, an se llamanlos coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado.
Polinomios de varias variables
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
En detalleel último de ellos es un momonio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.
Grado de un polinomio
Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (elpolinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.
P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números son polinomios de grado cero.
Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado unpolinomio P[x] se puede definir una función polinómica asociada a él dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo:
La funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillos de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisisnumérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras decolorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.Ejemplos de funciones polinómicas
Note que las gráficas representan a las funciones polinomiales y no a los polinomios en sí, pues un polinomio solo es la suma de varios monomios.
Polinomio de grado 2:
f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2). | Polinomio de grado 3:
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2=
1/5 (x+5)(x+1)(x-2). |
Polinomio de grado 4:
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5. | Polinomio degrado 5:
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2. |
La función
es un ejemplo de función polinómica de cuarto grado, con coeficiente principal 13 y una constante de 3.
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se lereconoce fácilmente. Las más importantes son :
Binomio de Suma al Cuadrado:El Cuadrado del primer Termino, más el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término.
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Binomio Diferencia al Cuadrado:El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término.
( a -...
Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como
Las constantes a0, …, an se llamanlos coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado.
Polinomios de varias variables
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
En detalleel último de ellos es un momonio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.
Grado de un polinomio
Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (elpolinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.
P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números son polinomios de grado cero.
Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado unpolinomio P[x] se puede definir una función polinómica asociada a él dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo:
La funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillos de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisisnumérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras decolorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.Ejemplos de funciones polinómicas
Note que las gráficas representan a las funciones polinomiales y no a los polinomios en sí, pues un polinomio solo es la suma de varios monomios.
Polinomio de grado 2:
f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2). | Polinomio de grado 3:
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2=
1/5 (x+5)(x+1)(x-2). |
Polinomio de grado 4:
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5. | Polinomio degrado 5:
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2. |
La función
es un ejemplo de función polinómica de cuarto grado, con coeficiente principal 13 y una constante de 3.
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se lereconoce fácilmente. Las más importantes son :
Binomio de Suma al Cuadrado:El Cuadrado del primer Termino, más el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término.
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Binomio Diferencia al Cuadrado:El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término.
( a -...
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