Matematicas

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MÓDULO 3
Derivada de Funciones
Una de las ideas básicas en Cálculo Matemático es el concepto de Derivada. Para introducir dicho concepto se recurre generalmente a dos problemas: uno Físico, para calcular la velocidad instantánea de un móvil, y otro Geométrico, para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera. Los dos problemas conducen al mismo cálculo: ellímite de un cociente de incrementos cuando el denominador tiende a cero. Puesto que, muchos problemas importantes dependen de la determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico, a continuación se introduce el concepto analítico de la pendiente de recta tangente a una función en un punto y luego el concepto de derivada. 3.1. Pendiente de una Recta Tangente. Sea funa función que es continua en x1. Para definir la pendiente de la recta contiene a x1. Sea Q ( x2 ; f ( x2 ) ) otro punto sobre la gráfica de f tal que x2 esté contenido en I. La recta que pase por los puntos P y Q se denomina recta secante.
Fig. 3.1
y

tangente a la gráfica de f en el punto P ( x1 ; f ( x1 ) ) , consideremos un intervalo abierto I que

T

f (x)

Q(x ; f (x ))
2 2
P(x ; f (x ))
1 1



f (x ) - f (x )
2 1

∆x = x - x
2

1

x

x



1

x



2

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Derivada de Funciones.

Lic. Eleazar J. García

Observe que ∆x es el cambio del valor x de x1 a x2 . Este cambio es llamado incremento de x. La pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q de la curva de la figura 3.1, está determinada por: f ( x2 ) − f ( x1 ) mPQ = ∆x x2= x1 + ∆x, la pendiente puede escribirse así: Como

f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) ∆x Consideremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el punto Q se mueve a lo largo de la curva hacia P. Esto es igual a decir que ∆x tiende a cero. Si esto sucede la recta secante gira sobre el punto P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en el punto P, por lo tanto, la pendiente de la rectatangente en dicho punto puede ser calculada mediante la siguiente ecuación: f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) m ( x1 ) = lim ∆x → 0 ∆x Ejemplo 3.1. Calcule la pendiente de la recta tangente a la parábola y = 3 x 2 + 4 en el punto ( 3;1) . mPQ =
Es evidente que x1 = 3, por lo tanto,
m ( 3) = lim = lim f ( 3 + ∆x ) − f ( 3) ∆x ∆x
∆x → 0 2 3 ( 3 + ∆x ) 2 + 4  − 31 3 9 + 6∆x + ( ∆x ) − 27  = lim  = lim ∆x → 0∆x → 0 ∆x ∆x 2

(

)

27 + 18∆x + 3 ( ∆x ) − 27

∆x → 0

= lim

18∆x + 3 ( ∆x ) ∆x

2

∆x → 0

= lim (18 + 3∆x ) = 18
∆x → 0

3.2. Derivada de una Función. La derivada de una función f, es una función denotada por f ′, tal que para cualquier x del dominio de f está dada por: f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′ ( x ) = lim ( 3.1) ∆x → 0 ∆x si este límite existe.
Si x1 es un número deldominio de f, entonces: f ′ ( x1 ) = lim si este límite existe. El proceso de calcular la derivada de una función se denomina derivación o diferenciación, es decir, la derivación o diferenciación es el proceso mediante el cual se obtiene f ′ a partir de f. Si una función tiene derivada en todo su dominio, se dice que es una función diferenciable. Ejemplo 3.2.
∆x → 0

f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) ∆x Derivada de Funciones. Determine la derivada de f ( x ) = x3 Apliquemos la ecuación (1), f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′ ( x ) = lim ∆x → 0 ∆x

Lic. Eleazar J. García

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= lim

( x + ∆x )

3

− x3
2 3

( = lim
∆x → 0

∆x → 0

∆x x 3 + 3 x 2 ( ∆x ) + 3 x ( ∆x ) + ( ∆x ) − x3 ∆x

= lim

(

∆x → 0

) ( ) ∆x ( x + 3 x ( ∆x ) + 3 x ( ∆x ) + ( ∆x ) + x )
x3 + 3 x 2 ( ∆x ) +3 x ( ∆x ) + ( ∆x 3 )
2 3 2 2 2

(

)(
x3

x 3 + 3 x 2 ( ∆x ) + 3 x ( ∆x ) + ( ∆x ) + x3
2 3 2 3

x3 + 3 x 2 ( ∆x ) + 3 x ( ∆x ) + ( ∆x ) + x3 −
3 2

)

)

3

= lim

∆x → 0

∆x

(

x3 + 3 x 2 ( ∆x ) + 3 x ( ∆x ) + ( ∆x ) − x 3
2 3

x 3 + 3 x 2 ( ∆x ) + 3 x ( ∆x ) + ( ∆x ) + x 3
2 3

)

= lim =

3 x 2 + 3 x ( ∆x ) + ( ∆x )
2

2 3

∆x → 0

x 3 + 3...
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