matematicas

.CONTINUIDAD
DE UNA FUNCI
Ó
N EN UN PUNTO
1.3.3
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La idea
intuitiva de continuidad de una función tiene que ver con poder
dibujar la gráfica de dichafunción de un solo trazo. Esto es, decimos
que una función es continua si su gráfica no presenta “huecos” ni saltos.
La figura muestra la gráfica de la función f
definida por
Como puede observarse, lafunción f no es continua, ya que su gráfica
presenta un “hueco” en
, debido a que la función no está definida
para dicho valor.
La figura muestra la gráfica de la función g definida por
UNIDADUNO
3
6




P
o l i t é c n i c o
G
r a n c o l o m b i a n o
-
e n a l i a n z a c o n W h i t n e y I n t e r n a t i o n a l U n i v e r s i t y S y s t e m
2
La función g no es continuaporque presenta un salto. Nótese que entre
2 y 4 la función no está definida.
Veamos ahora la definición formal de continuidad de una función en un
punto.
Definición:
Formalmente, una función fes continua en x = a, si
se cumplen todas y
cada una de las siguientes condiciones:
(i) f ( a ) está definida
(ii)
existe
(iii)
= f ( a )
En caso de que no se cumpla por lo menos una de estascondiciones, la
función se dice
que es discontinua
Apliquemos ahora la definición de continuidad para saber si una
función dada es o no continua en un pu
nto determinado.
EJEMPLO 1
Sea lafunción f definida por
. Determinar si f es continua
en
Verificamos las tres condiciones:
2










4



































9
3

1












3
i)
Como
, la función f no estádefinida para
,
Luego, f no es continua en
Las condiciones
ii)
y
iii)
no hace falta verificarlas porque ya no se tiene
en este caso, la condición
i)
EJEMPLO 2
Determinar si la función hdefinida por
€
h
x
(
)
=
x
+
3
;
x
≥
2
x
2
+
1
;
x
<
2



es
continua en
Veamos:
i)
Evaluamos el valor 2 en la parte de la función cuyo dominio
contiene a 2, esto es,...