Matematicas

Matemáticas III

Modulo I
← Ecuaciones Lineales
Una ecuación lineal es toda expresión de la forma: Ax + By + C = 0
De tal manera que A, B y C son constantes reales. Se denominan ecuaciones lineales por que al trazar la grafica de expresiones como la anterior, el resultado será una línea recta. La condición que debe cumplir la forma Ax + By + C = 0 para definir una ecuación lineal, esque A y B no sea cero simultáneamente.
Es decir pueden tener las sig. Combinaciones:
1.- A = 0 entonces By + C = 0
2.- B = 0 entonces Ax + C = 0
3.- C = 0 entonces Ax + By = 0
4.- A = C = 0 entonces By = 0
5.- B = C = 0 entonces Ax = 0

Nunca se podrá tener A = B = 0 por que ya no se cumple con la definición.

← Funciones Lineales
Ax + By + C = 0
Despejando y
y = - Ax –C
B B
Como y = f(x) por lo tanto f(x)= - Ax – C pero –A = m y -C = b
B B B B
f(x) = mx + b función lineal, donde:
m = Pendiente (inclinación).
b = Ordenada al origen.

Caso 1 m > 0 (+)
[pic]
Caso 2 m < 0 (-)
[pic]
Caso 3 m = 0
[pic]

← Pendiente
[pic]

Toda recta requiere porlo menos de dos puntos para ser trazada. Indico que la pendiente es un parámetro que define a una función lineal. La pendiente se define como la variación de la altura (ordenadas) respecto a la horizontal (abscisas), por lo tanto la pendiente, dados dos puntos, se calcula como:

m = y2 – y1 = y1 – y2 Es decir m = ρy ρ = Variación.
x2 – x1 x1 – x2 ρx← Familias de Rectas.
Caso 1 Misma pendiente
m = Constante
[pic]

Caso 2 Misma Ordenada
b = Constante
[pic]

Ejercicios:

Dadas las siguiente expresiones represéntelo como una ecuación lineal, obtén sus parámetros, posteriormente obtén su función lineal, determine pendiente y ordenada de 3 posibles soluciones y grafique.

2y + 4x = 6
Se acomoda como una ecuaciónlineal,
4x + 2y – 6 = 0
Se identifican coeficientes,
A = 4 B = 2 C = -6
Se despeja y,
y = - 4x + 6
2

y = -4x + 6
2 2
Se resuelve la operación,
y = -2x + 3
y queda
f(x) = -2x + 3 (Función Lineal)
m = -2
b = 3
Se da un valor cualquiera a x y se sustituye en la Función Lineal
▪ x = -1
f(x) = -2 (-1) + 3
= 2 + 3
= 5
f(x) = 5
▪ x= 1f(x) = -2(1) + 3
= -2 + 3
f(x) = 1
▪ x = 3
f(x) = -2(3) + 3
=-6 + 3
f(x) = -3

[pic][pic]

Determine el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1/7 ,0) (-2/5, 1/3)
y2 – y1
x2 – x1
1 – 0 1 1
3 = 3 = 3 = -35
-2 – 1 - 14 -5 -19 57
5 7 35 35

Graficar las sig.Familias
1.- y = 2x + b
3
[pic]

2.- y = mx – 5

3.- y = -1/5 +b
[pic]
4.- y= mx + 2
[pic]
Modulo II
← Sistemas de ecuaciones Lineales (2 x 2)
Un sistema de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas es de la forma:
A1x + B1y = C1 Ecuación 1
A2x + B2y = C2 Ecuación 2

El objetivo de hallar la solución de un sistema de ecuaciones es el determinar las coordenadasdel punto P(x1, y1) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones, es decir:
A1x1 + B1y1 = C1
A2x1 + B2y1 = C2

Métodos de solución =

A. Método Grafico.
Caso 1 Rectas que se intersecan.
A1x + B1y = C1
A2x + B2y = C2
(Solución Única)
[pic]

Caso 2 Rectas Coincidentes.
A1x + B1y = C1
A2x + B2y = C2
(Solución Infinito)
Pero A2 = KA, B2 =KB, C2 =KC1 donde K ∈ℝ (∈ = pertenece) (ℝ= Conjunto Reales)
Entonces A1x + B1y = C1
KA1x + KB1y = KC
[pic]
Caso 3 Rectas Paralelas.
A1x + B1y = C1
A2x + B2y = C2
(No tiene solución)
Pero A1 = A2 y B1 = B2
A1x + B1y = C1
A1x + B1y = C2
[pic]

B. Método Kramer
Sea el sistema de la forma
A1x + B1y = C1
A2x + B2y = C2

Paso 1.- Hacer representación Matricial

Matriz de = Matriz o Vector...