matematicas

    Límites y Continuidad

 El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

 Definición de límite
     Antes de establecer la definición formal del límitede una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.

Ejemplo:


En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función  f (x):

x
f (x)
Cuando x se aproxima a 2, tanto por laizquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2,  f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre  f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la funciónse acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1
2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41



|x - 2|
| f (x) - 3|

|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01|2.1-2| = 0.1
|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| = 0.003999
|2.99960001-3| = 0.00039999
|3.00040001-3| = 0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41


De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función  f (x) cuando x tiende a 2, es 3.

 Definición épsilon-delta

 Sea  f una función definida en algún intervalo abierto que contengaa a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe     

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.


 Ejercicios resueltos (aplicando la definición epsilón-delta)
       En los ejercicios 1 a 7, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilón-delta:










S o l u c i o n e s
 1. Solución: 2. Solución:


 3. Solución:





 4. Solución:









Teoremas de límites

     Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración,pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.

 Teorema de límite1:
Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces


 Teorema de límite 2:
Para cualquier número dado a,


 Teorema de límite 3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces


 Teorema de límite 4:


 Teorema de límite 5:


 Teorema de límite 6:
Si  f es un polinomio y a esun número real, entonces


 Teorema de límite 7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces


 Teorema de límite 8:


 Procedimiento para calcular límites
     Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1,2, 3, y 4  implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.
     Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indetermidada 0/0 es posible calcular el...