matematicas

Funciones de Legendre - F´rmulas
o
Agust´ Nieto
ın
Departamento de F´
ısica
Universidad de Oviedo
18 de mayo de 2010
Resumen
Se dan f´rmulas relacionadas con los polinomios de Legendre, las funciones asociadas de Legendre
o
y los arm´nicos esf´ricos.
o
e

1.

Polinomios de Legendre

1.1.

Definici´n
o
Pl (z) ≡

1
2l

[l/2]

(−1)n
n=0

(2l − 2n)! z l−2n
(l − n)! n!(l − 2n)!

|z| ≤ 1 y l = 0, 1, 2, . . .

(1)

con [l/2] = l/2 para l par y [l/2] = (l − 1)/2 para l impar. Algunos polinomios de Legendre:
P0 (z)

1

(2)

=
=

P3 (z)

=

P4 (z)

=

P5 (z)

=

z
1
(3z 2 − 1)
2
1
(5z 3 − 3z)
2
1
(35z 4 − 30z 2 + 3)
8
1
(63z 5 − 70z 3 + 15z)
8

(3)

P2 (z)

1.2.

=

P1 (z)

(4)
(5)
(6)
(7)

Ecuaci´nDiferencial de Legendre
o

Los polinomios de Legendre satisfacen la ecuaci´n diferencial de Legendre:
o
(1 − z 2 )u (z) − 2zu (z) + l(l + 1)u(z) = 0 .

(8)

Pl (cos θ) satisface la ecuaci´n de Legendre
o
1 d
sen θ dθ

1.3.

sen θ

d Pl (cos θ)
dθ

+ l(l + 1)Pl (cos θ) = 0 .

(9)

Propiedades

1. F´rmula de Rodrigues
o
Pl (z) =

1
l l!
2

1

d
dz

l

(z 2 − 1)l(10)

Funciones de Legendre – A.Nieto

2

2.
Pl (z = 1)
Pl (z = −1)
Pl (z = 0)

=
=

1

(11)
l

(−1)
0

=

(12)
l impar
(2k − 1)!!
2k k!

(−1)k

l = 2k par

(13)

3. Paridad de Pl (z)
Pl (−z) = (−1)l Pl (z)

(14)

4. Funci´n generatriz
o
∞

g(z, t) ≡ (1 − 2zt + t2 )−1/2 =

Pl (z) tl

|z| ≤ 1 y |t| < 1

(15)

l=0

5. Algunas relaciones derecurrencia
(l + 1)Pl+1 (z) + l Pl−1 (z)

=

(2l + 1)zPl (z)

(16)

Pl+1 (z) + Pl−1 (z)

= Pl (z) + 2z Pl (z)

(17)

Pl+1 (z) − Pl−1 (z)

=

(18)

(2l + 1)Pl (z)

Pl+1 (z) = (l + 1)Pl (z) + z Pl (z)
Pl−1 (z) = −l Pl (z) + z Pl (z)

(19)
(20)

6. Formas integrales de los polinomios de Legendre
a) Integral de Schl¨fli
a
Pl (z) =

1 1
2l 2πi

C

(t2 − 1)l
dt ,
(t −z)l+1

(21)

donde C es un contorno cerrado alrededor de z.
b) Integral de Laplace
Pl (z) =

1
2π

2π

(z +

z 2 − 1 cos θ)l dθ

(22)

0

7. Desarrollo del potencial coulombiano en polinomios de Legendre
1
=
|r1 − r2 |

∞

l=0

l
r<
P (cos γ) ,
l+1 l
r>

(23)

donde r< ≡ m´ 1 , r2 } y r> ≡ m´x{r1 , r2 } y γ = (r1 , r2 ) es el ´ngulo entre r1 y r2 :
ın{r
a
acos γ = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2 cos(φ1 − φ2 ) .

1.4.

(24)

Ortogonalidad de los Polinomios de Legendre

El conjunto {Pl (z)} con l = 0, 1, 2, . . . es ortogonal en el intervalo −1 ≤ z ≤ 1:
+1

Pl (z)Pl (z) dz =
−1

2
δl l .
2l + 1

(25)

Por lo tanto, toda funci´n razonablemente regular.en −1 ≤ z ≤ 1 se puede desarrollar en serie de
o
polinomios de Legendre
∞

f(z) =

cl Pl (z) ,
l=0

(26)

Funciones de Legendre – A.Nieto

3

con
cl =

+1

2l + 1
2

Pl (z) f (z) dz .

(27)

−1

De forma similar, el conjunto {Pl (cos θ)} con l = 0, 1, 2, . . . es ortogonal en el intervalo 0 ≤ z ≤ π:
π

Pl (cos θ)Pl (cos θ) sen θ dθ =
0

2
δl l .
2l + 1

(28)

Por lo tanto, toda funci´n razonablemente regular.en 0 ≤ z ≤ π se puededesarrollar en serie de polinomios
o
de Legendre
∞

f (θ) =

cl Pl (cos θ) ,

(29)

l=0

con
cl =

2.

2l + 1
2

π

Pl (cos θ) f (θ) sen θ dθ .

(30)

0

Funciones Asociadas de Legendre

2.1.

Definici´n
o
d
dz

Plm (z) ≡ (1 − z 2 )m/2

m

Pl (z)

|z| ≤ 1

(31)

con l = 0, 1, 2, . . . y −l ≤ m ≤ +l. Claramente,
Plm (z) =

d
dz

1
(1 − z 2 )m/2
l l!2

l+m

(z 2 − 1)l .

(32)

Algunas funciones asociadas de Legendre son (con z = cos θ):
1
P1 (z)

=

1
P2 (z)
2
P2 (z)

=

1
P3 (z)

=

2
P3 (z)
3
P3 (z)

=

=

(1 − z 2 )1/2 = sen θ
2 1/2

3z(1 − z )
2

(33)

= 3 cos θ sen θ

(34)

2

3(1 − z ) = 3 sen θ
3
3
(5z 2 − 1)(1 − z 2 )1/2 = (5 cos2 θ − 1) sen θ
2
2
15z(1 − z 2 ) = 15 cos θ sen2...