Matematicas

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GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS

REFLEXIONA Y RESUELVE Punto medio de un segmento
Toma los puntos P (2, 5), Q (10, 3) y represéntalos en el plano:
P (2, 5) Q (10, 3)

■

Localiza gráficamente el punto medio, M, del segmento PQ y da sus coordenadas. ¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q? M (6, 4)
Q' P (2, 5) M M" P" M' Q(10, 3) Q"

P'

■

Haz lo mismo con los segmentos de extremos: a) P' (5, 1), Q' (9, 7) b) P'' (0, 1), Q'' (10, 5) a) M' (7, 4) b) M'' (5, 3)

Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos. Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento son la semisuma de lascoordenadas de sus extremos.
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

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Ecuaciones de la recta
■

Comprueba que las ecuaciones: ° x = 2 + 3t ¢ £y = 4 – t corresponden también a una recta, hallando varios de sus puntos. (Dale a t los valores –2, –1, 0, 1, 2, 3, y representa los puntos correspondientes; comprobarás que todos están sobre la misma recta). Elimina el parámetroprocediendo del siguiente modo: — Despeja t en la primera ecuación. — Sustituye su valor en la segunda. — Reordena los términos de la ecuación resultante. Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual.
t
–2 –1 0 (2, 4) 1 (5, 3) 2 (8, 2) 3 (11, 1)

(x, y ) (– 4, 6) (–1, 5)

Y (–4, 6) (–1, 5) (2, 4) (5, 3) (8, 2) (11, 1) r X

x–2 t=— 3 t=4–y

° § x–2 –x + 14 = 4 – y 8 x – 2 =12 – 3y 8 y = 8 ¢ 8 3 3 § £ 8 y= –1 14 x+ 3 3

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Distancias en el plano
s Q (5, 7)

P (2, 3) r

s Q (5, 7) P' Q'' P(2, 3) P'' Q' r

■

Halla la distancia de los puntos P y Q a las rectas r y s. d (P, r ) = 1; d (P, s ) = 8; d (Q, r ) = 5; d (Q, s ) = 5

■

Halla la distancia entre los puntos P y Q(ayúdate del teorema de Pitágoras). d (P, Q ) = √32 + 42 = 5, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4.

■

Halla, también, la distancia entre: a) P' (0, 5), Q' (12, 0) b) P'' (3, 1), Q'' (7, 4)

Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para hallar la distancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas. a) d (P', Q' ) = √52 + 122 = √169 = 13b) d (P", Q" ) = √42 + 32 = √25 = 5 d (A, B ) = √ (b1 – a1)2 + (b2 – a2)2 , donde A (a1, a2) y B (b1, b2). d (A, B ) = |AB |
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1. Halla las coordenadas de MN y NM, siendo M (7, –5) y N (–2, –11). MN = (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6) NM = (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6) 2. Averigua si están alineados los puntos P (7,11), Q (4, –3) y R (10, 25). PQ = (–3, –14) ° –3 –14 = 8 A, B y C están alineados. ¢ 8 8 6 28 QR = (6, 28) £ 3. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas A (1, 7) estén alineados. AB = (–4, –3) ° –4 –3 –5 = 8 –4 = –3k – 9 8 3k = –5 8 k = ¢ 8 8 k+3 1 3 BC = (k + 3, 1) £
8 8 8 8 8 8

B (–3, 4)

C (k, 5)

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4. Dados los puntos P (3, 9) y Q (8, –1): a) Halla el puntomedio de PQ. b) Halla el simétrico de P respecto de Q. c) Halla el simétrico de Q respecto de P. d) Obtén un punto A de PQ tal que PA /AQ = 2/3. e) Obtén un punto B de PQ tal que PB / PQ = 1/5. a) M
8 8 8 8

( 3 + 8 , 9 + 2( –1) ) = ( 11 , 4) 2 2
° § § ¢ 8 P' (13, –11) § § £
P (3, 9) Q (8, 1) P' (x, y)

b) 3 + x —––––– = 8 8 x = 13 2 9+y —––––– = –1 8 y = –11 2

c) Llamamos Q' (x', y') alsimétrico de Q respecto de P. Así: x' + 8 —––––– = 3 8 x' = –2 2 y' + (–1) —–––––––– = 9 8 y' = 19 2
° § § ¢ Q' (–2, 19) § § £
Q' P Q

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d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que: PA =
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2 8 2 AQ 8 (x – 3, y – 9) = (8 – x, –1 – y) 3 3
° § § ¢ § § £

2 x – 3 = — (8 – x) 8 x = 5 3 2 y – 9...