Matematicas

FUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES.


TASA DE VARIACION MEDIA.

Dada una función [pic] se llama TASA DE VARIACIÓN o INCREMENTO de f a la variación que experimenta f cuando la variable independiente pasa de "a" a "a + h".

[pic]

Por el mismo motivo h recibe el nombre de incremento de x o variación de x.

Esta tasa de variación o incremento de una función nos dauna primera idea de la rapidez con que crece o decrece la función en un intervalo, aunque no es lo suficientemente precisa.

Para tener una idea más exacta necesitaríamos conocer cuanto crece la función por cada unidad que crece la variable x. Este dato más preciso es la tasa de variación media.

La TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M.) nos viene dada por el cocienteincremental siguiente:

[pic]

y significa la variación relativa de f con relación a x en el intervalo [pic]






DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.

El límite
[pic]

si existe y es finito, recibe el nombre de DERIVADA de la función en el punto "a" y representa la variación de la función f en el punto x = a. Se representa por [pic]

Si en la definición anteriorhacemos [pic] cuando h tiende a cero, entonces x tiende a [pic] y la derivada de la función en el punto a nos queda de la forma:

[pic]

Geométricamente, si vamos acercando el punto P hacia el punto P0 (h tiende a cero), la recta





La ecuación de la recta tangente en el punto [pic]nos viene dada por:

[pic]

NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos laecuación de la recta en la forma punto-pendiente: [pic]

La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto.

Si la pendiente de la tangente es [pic] la pendiente de la normal será [pic] y la ecuación de la normal nos viene dada por:

[pic]

EJEMPLOS.

1. Hallar la ecuación dela recta tangente y normal a la curva dada por [pic] en el punto de abscisa x = 2.

Calculamos la derivada de la función dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia definición tendremos:

[pic]


[pic]


En consecuencia, [pic]

Una vez que hemos obtenido las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva, podemos escribir sus ecuaciones, utilizandola ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:

Si tenemos en cuenta que el punto de tangencia tiene por coordenadas [pic], las ecuaciones de las rectas pedidas son:

Ecuación de la recta tangente: [pic]

Ecuación de la recta normal: [pic]




2. Dada la parábola de ecuación [pic] hallar el punto donde la tangente es paralela al eje de abscisas.

Calculamosla derivada de la función dada en un punto cualquiera x:


[pic]


[pic]


[pic]


Como la tangente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán igual pendiente: si tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es igual a cero, al igualar la derivada a cero nos queda:

[pic]

Obtenida la abscisa del punto de tangencia, la ordenadacorrespondiente del punto la obtenemos sustituyendo en la función: [pic]

En consecuencia, el punto de tangencia tiene por coordenadas (4, (4).


DERIVADAS LATERALES.

Puesto que la derivada de una función en un punto la definimos mediante el límite de una función (TVM) en un punto x = a, podemos considerar la existencia de límites laterales en dicho punto. Aparece así el concepto dederivadas laterales.

Derivada por la izquierda.

Se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es que existe:

[pic] o [pic]

La derivada por la izquierda en el punto x = a se representa por [pic]

Derivada por la derecha:


Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto x = a al...